Géométrie, fonction exponentielle, fonction logarithme et convexité, bac  Amérique du Nord 2021.

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On considère le cube suivant. I est le milieu du segment [EF] ; J est le milieu du segment (BC] ; K est le milieu du segment [AE].

1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier.
A(0 ; 0 ; 0) ; I( 0,5 ; 0 ; 1).
Coordonnées d'un vercteur directeur de la droite (AI) : 0,5 ; 0 ; 1.
K( 0 ; 0 ; 0,5 ) ; H(0 ; 1 ; 1)
Coordonnées d'un vercteur directeur de la droite (KH) : 0 ; 1 ; 0,5.
Les vecteurs directeurs de ces droites n'étant pas colinéaires, les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.
2. a. Donner les coordonnées des points I et J.
I( 0,5 ; 0 ; 1) ; J( 1 ; 0,5 ; 0).
b. Montrer que les vecteurs suivants sont coplanaires.
E(0 ; 0 ; 1) ; C( 1 ; 1 ; 0).

L'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres : ces vecteurs sont donc coplaniares.
On considère le plan P d'équation x +3y -2z +2=0 ainsi que les droites d1 et d2 définies par leurs représentation paramétriques respectives :
x = 3+t ; y = 8-2t ; z = -2+3t.
x = 4+t ; y = 1+t ; z = 8+2t ; t réel.
3. Ces droites sont-elles parallèles ? Justifier.
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite d1 : 1 ; -2 ; 3.
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite d2 : 1 ; 1 ; 2.
Les vecteurs directeurs de ces droites n'étant pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles.

4. Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
Dans l'hypothèse où le plan P et la droite d2 sont sécants, les coordonnées du point d'intersection vérifient :
x +3y -2z +2=0 et x = 4+t ; y = 1+t ; z = 8+2t .
4+t +3(1+t) -2(8+2t) +2 = 0.
-11+0 t =0, c'est impossible.
L'hypothèse est rejetée ; le plan P et la droite d2 sont parallèles.
5. Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 , 1) sur le plan P.
Coordonnées d'un vecteur normal au plan P : (1 ; 3 ; -2).
Coordonnées du vecteur ML : (1 ; 3 ;-2).
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires.
L appartient-il au plan P ?
Si L appartient au plan P :
xL +3yL -2zL +2=0.
4 +3*0-2*3+2=0 est vérifié.
Le point L(4 ; 0 ; 3) est donc le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 , 1) sur le plan P.

Fonction exponentielle, convexité.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Justifier.

Affirmation 1. Pour tout réels a  et b, (ea+eb)2 = e2a+e2b. Faux.
(ea+eb) (ea+eb) =ea .ea +ea .eb +eb .ea +eb .eb =ea+a +2ea+b +eb+b .
Affirmation 2. Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x)  =-2+(3-x)ex admet pour équation réduite y = 2x+1. Vrai.
Calcul de f '(x) en posant u = 3-x et v = ex ; u' = -1 ; v' = ex.
f '(x) = u'v+v'u =
-ex +(3-x)ex= (2-x)ex.
Coefficient directeur de la tangente à la courbe en x=0 : f '(0) = 2.
Le point de coordonnées (0 ; f(0) soit (0 ; 1) appartient à la tangente.
Equation de la tangente : y = 2x +b ; 1 =2*0+b ; y = 2x+1.

Affirmation 3.  La limite en plus l'infini de e2x-ex+3/x est égale à zéro. Faux.
e2x(1-1/ex+3/(xe2x)).
En plus l'infini :
1/exet 3/(xe2x) tendent vers zéro ; e2x tend vers plus l'infini.

Affirmation 4. L'équation 1-x+e-x =0 admet une seule solution appartenant à [0 ; 2]. Vrai.
Soit f(x) =
1-x+e-x  ; f '(x) = -1-e-x.
f '(x) est négaitivesur
[0 ; 2] ; f (x) est strictement décroissante sur cet intervalle de f(0 )=2 à f(2) =-1+e-2 ~-0,86.
D'après le théorème de la bijection, l'équation f(x) = 0 possède une seule solution sur
[0 ; 2].

Affirmation 5. La fonction g définie sur R par g(x) = x2-5x+ex est convexe. Vrai.
g'(x) = 2x-5+ex.
g"(x) =2+
ex >0.
La dérivée seconde étant positive sur R, la fonction est convexe.

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Fonction logarithme népérien et convexité.
On considère la courbe Cf représentative d'une fonction f, deux fois dérivable sur ]0 ; +oo[. Cette courbe admet une tangente horizontale T au point A(1 ; 4).

1. Préciser les valeurs de  f(1) et f '(1).
f(1) = 4 ; f '(1) =0, tangente horizontale en A.
On admet que la fonction f est définie par f(x) = (a+b ln(x)) / x, a et b étant deux réels.
2. Montrer que f '(x) = (b-a-b ln(x) ) / x2.
u = a +b ln(x) ; v = x ; u' = b /x ; v' = 1.
f '(x) =(u'v-v'u) / v2 =( b- a-bln(x)) / x2.
3. En déduire les valeurs de a et b.
f(1) =(a + bln(1)) /1 = a = 4.
 f '(1) =
( b- a-bln(1)) / 12=b-a = 0 ; b = a = 4.
Par la suite on admet que f(x) = (4 +4 ln(x) ) / x.

4. Déterminer les limites de f en zéro et en plus l'infini.
En zéro : 4 + ln(x) tend vers moins l'infini ; le dénomonateur tend vers 0+.
(4+ln(x)) / x tend vers moins l'infini.
En +oo : 4 /x tend vers zéro et par croissance comparée ln(x) / x tend vers zéro.
f(x) tend donc vers zéro.
5. Déterminer le tableau de variation de f.
f '(x) = (-4 ln(x) ) / x2.
Si x = 1, f '(x) = 0 ; f présente un extrémum.
Si x appartient à ]0 ; 1[, f '(x) >0 et f est strictement croissante.
Si x appartient à ]1 ; +oo[, f '(x) < 0 et f est strictement décroissante.

6. Montrer que f "(x) =(-4+8ln(x)) / x3.
f '(x) =
(-4 ln(x) ) / x2.
On pose u = -4ln(x) et v = x2 ; u' = -4 /x ; v' = 2x.
(u'v-v'u) / v2 =(-4 x+8x ln(x)) / x4 =
(-4+8ln(x)) / x3.
7. Montrer que la courbe possède un point unique d'inflexion dont on précisera les coordonnées.
f "(x) s'annule et change de signe pour -4+8ln(x) = 0 soit 2 ln(x) = 1 ; ln(x) = 0,5 ; x = e0,5~1,65.
f(
e0,5)=4(1+ln(e0,5) )/ e0,5 =6 e-0,5 ~3,64.

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