Microphone et enceinte, circuit RC. Bac général Amérique du Nord 2021.

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Le microphone.
Il permet de convertir un signal acoustique en un signal électrique. Le condensateur présent dans le microphone est formé de deux armatures : la première est constituée d'une membrane mobile en plastique recouverte d'une fine pellicule métallique, la seconde est constituée d'une plaque métallique fixe. Lorsque le microphone ne capte aucun son, la distance entre les armatures est de l'ordre de 15 à 25 µm.
Pour fonctionner, le condensateur doit être chargé : on s'intéresse à une source de tension continue qui n'a pas d'eefet sur le signal électrique de sortie envoyé vers le pré-amplificateur.
On modélise le microphone par le circuit électrique suivant :

E = 48 V ; R = 100 MW.
On étudie la phase de charge, le microphone ne captant pas de son.
B.1. Etablir la relation entre E, uc(t) et uR(t).
Additivité des tensions :
E =
uc(t) + uR(t).
B.2. Montrer que l'équation différentielle vériifiée par uc(t) est E = RC duc(t) / dt + uc(t).
uR(t) = R i(t) avec i(t) = dq /dt et q = Cuc(t) ;
i(t) =
C duc(t) / dt  ; uR(t) = R C duc(t) / dt.
Par suite E =
RC duc(t) / dt + uc(t).
On mesure la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge.

Cette courbe peut être modélisée par l'une des trois fonctions mathématiques proposées ci-dessous.
1 : uc(t) = E(1-et/(RC)) ; 2 : 
uc(t) = E e-t/(RC) ; 3 : uc(t) = E(1-e-t/(RC)) .
B.3. Quelle est la fonction qui convient ? Justifier.
Seule 3 convient :
Quand t devient suffisamment grand, le terme en exponentielle tend vers zéro et uc(t) tend vers E.
B.4. Vérifier que la fonction retenue est solution de l'équation différentielle.
duc /dt = E /(RC)
e-t/(RC)
Repport dans l'équation différentielle : E = RC E /(RC) e-t/(RC)+ E(1-e-t/(RC)) .
E = E
e-t/(RC)) +E -E e-t/(RC) ; E =E.
L'équation différentielle est vérifiée quel que soit t.
B.5 . Expression de la capacité d'un condensateur plan : C = e S / d.
e : permitivité de l'air ; d : distance des armatures ; S : surface des plaques en regard.
Pour ce microphone e S = 1,4 10-15 F m.
Déterminer d en exploitant la courbe.
A t = RC, uc(t) = 0,63 E.
Le graphe donne RC = 7,5 10-3 s.
R = 100 106 ohms ; C =
7,5 10-3 / 108 =7,5 10-11 F.
d =
e S / C =1,4 10-15 / (7,5 10-11) ~2 10-5 m.

Sous l'effet  des ondes sonores, la membrane se déplace en entraînant une modification de la distance entre les armatures. la tension de sortie envoyée vers le pré-amplificateur est alors l'image des ondes sonores captées par le microphone.

B.6. Détailler l'évolution de la capacité du condensateur lorsque d diminue.
C = e S / d avec e S constant.
Si d diminue, la capacité C augmente.


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L'enceinte.
Une source S émettant des ondes sonores de puissance P est isotrope si elle émet la même quantité d'énergie dans toutes les directions. l'intensité sonore dépend de la distance D à la source selon I = P /(4pD2).
L'intensité sonore mesurée à 1,0 m de distance vaut I1 = 3,2 10-3 W m-2.

C.1. Calculer le niveau d'intensité sonore correspondant.
L1 = 10 log (I / 10-12) =10 log ( 3,2 10-3 / 10-12) =95 dB.
2. Commenter  ce résultat.
Pour un niveau sonore de 95 dB, la durée limite d'exposition ne doit pas dépasser 15 min / jour. Au delà, les traumatismes sont irréversibles.
C.3. Montrer que P =4,0 10-2 W.
P =4pD2I =4 x3,14 x 12 3,2 10-3 ~4,0 10-2 W.
C.4. Les organisateurs d'une manifestation sportive de 2 heures ont fixé à 2,0 10-4 W m-2 la valeur maximale de l'intensité sonore perçue par les spectateurs. Des barrières entourent l'enceinte à 3,0 m de celle-ci. Justifier ce choix.
Niveau sonore maxi : L = 86 dB sur une durée de 2 heures par jour.
Intensité sonore maximale à 3 m de l'enceinte. : I = P /(4pD2) = 4,0 10-2 /(4 x 3,14 x32) =3,54 10-4 W m-2.
Niveau sonore correspondant : L2 = 10 log (I / 10-12) =10 log ( 3,54 10-4 / 10-12)~85 dB.
Cette valeur est inférieure à 86 dB.
La position des barrières est correcte.




  
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