Mathématiques, fonction, géométrie, probabilités, bac septembre 2021.

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Probabilités. 4 points
Une entreprise reçoit quotidiennement de nombreux courriels (courriers électroniques).
Parmi ces courriels, 8% sont du « spam», c’est-à-dire des courriers à intention publicitaire, voire malveillante, qu’il est souhaitable de ne pas ouvrir.
On choisit au hasard un courriel reçu par l’entreprise.
Les propriétés du logiciel de messagerie utilisé dans l’entreprise permettent d’affirmer que :
• La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que c’est un spam est égale à 0,9.
• La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que ce n’est pas un spam est égale à 0,01.
On note :
• S l’évènement « le courriel choisi est un spam»;
• I l’évènement « le courriel choisi est classé comme indésirable par le logiciel de messagerie ».
1. Modéliser la situation étudiée par un arbre pondéré, sur lequel on fera apparaître les probabilités associées à chaque branche.
2. a. Démontrer que la probabilité que le courriel choisi soit un messagede spam et qu’il soit classé indésirable est égale à 0,072.
b. Calculer la probabilité que le message choisi soit classé indésirable.

c. Le message choisi est classé comme indésirable. Quelle est la probabilité que ce soit effectivement un message de spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
PI(S) = P(I n S) / P(I) =0,072 / 0,0812 ~0,89.
3. On choisit au hasard 50 courriels parmi ceux reçus par l’entreprise. On admet que ce choix se ramène à un tirage au hasard avec remise de 50 courriels parmi l’ensemble des courriels reçus par l’entreprise.
On appelle Z la variable aléatoire dénombrant les courriels de spam parmi les 50 choisis.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Z, et quels sont ses paramètres ?
On choisit 50 courriels de manière indépendante. Deux issues sont possibles " le courriel n'est pas un spam " ou" le courriel est un spam".
On répète 50 fois une épreuve de Bernoulli.
Z suit une loi binomiale de paramètre n =50 ; p = 0,08.
b. Quelle est la probabilité que, parmi les 50 courriels choisis, deux au moins soient du spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
P(Z >2) = 1 -P(Z < 1) =1-0,083 ~0,92.

QCM. 5 points.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé on considère les points A(1; 0; 2), B(2; 1; 0), C(0; 1; 2) et la droite D dont une représentation paramétrique est :
 x = 1+2t
y = −2+t
z = 4−t
avec t réel.
1. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite D ?
Réponse A  :M(2 ; 1 ; −1) ; Réponse B : N(−3 ; −4 ; 6) ; vrai.
Réponse C : P(−3 ; −4 ; 2) ; Réponse D : Q(−5 ; −5 ; 1).
Si M appartient à
la droite D : 2 = 1+2t ; t = 0,5.
alors yM =-2 +0,5 = -1,5 différent de 1.( M n'appartient pas à D).
Si N appartient à la droite D : -3 = 1+2t ; t = -2.
alors yN =-2 -2 = -4 et zN =4 +2 = 6.( N appartient à D).

2. Le vecteur AB a pour coordonnés :
Réponse A : (1,5 ; 0,5 ; 1).
Réponse B : (-1 ; -1 ; 2).
Réponse C : (1 ; 1 ; -2). Réponse D : (3 ; 1 ; 2).
xB-xA = 2-1 = 1 ;
yB-yA = 1-0 = 1 ; zB-zA = 0-2 = -2 ; Réponse C.

3. Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
Réponse A : (x = 1+2t ; y =t ; z=2 ). Réponse B : (x=2-t ; y=1-t ; z=2t).
Réponse C : (x=2+t ; y=1+t ; z=2t). Réponse D : (x =1+t ; y=1+t ; z=2-2t) avec t réel.
Le vecteur BA de coordonnées (-1 ; -1 ; 2) est un vecteur directeur de cette droite :
B(2 ; 1 ; 0) appartient à cette droite : x = -t+xB ;
y = -t+yB ; z = 2t+zB ; x = -t+2 ; y =- t+1 ; z =2t. Réponse B.

4. Une équation cartésienne du plan passant par le point C et orthogonal à la droite D est :
Réponse A : x −2y +4z −6 = 0; Réponse B : 2x + y −z +1 = 0;
Réponse C : 2x + y −z −1 = 0; Réponse D : y +2z −5 = 0.
Coordonnés d'un vecteur ortogonal à ce plan  ( vecteur directeur de la droite D) : 2  1 ; -1.
Equation cartésienne de ce plan :2x+y-z+d=0.
C(0 ; 1 ; 2) appartient à ce plan : 0 +1-2+d=0 soit d = 1.
Réponse B.

5. On considère le point D défini par la relation vectorielle suivante :


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Fonction (6 points).
Partie I.
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x −e−2x .
On appelle G la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
1. Déterminer les limites de la fonction f en −∞et en +∞.
En plus l'infini : e-2x tend vers zéro et f(x) tend vers plus l'infini.
En moins l'infini,
e-2x tend vers plus l'infini ;  -e-2x tend vers moins l'infini et f(x) tend vers moins l'infini.
2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur R et dresser son tableau de variation.
 f '(x) = 1 +2e-2x > 0 ; f(x) est strictement croissante.

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur R, dont on donnera une valeur approchée à 10−2 près.
Daprès le tableau de variation précédent ( ou d'après le théorème de la bijection),
f (x) = 0 admet une unique solution α sur R
4. Déduire des questions précédentes le signe de f (x) suivant les valeurs de x.
f(x) < 0 si x appartient à ]-oo ; a[ ;
f(x) > 0 si x appartient ] a ; +oo[ ;
f(a) = 0.

Partie II
Dans le repère orthonormé, on appelle C la courbe représentative de la fonction
g définie sur R par : g(x) = e−x .
La courbes C et la courbe G (qui représente la fonction f de la Partie I) sont tracées
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe C le plus proche de l’origine O du repère et d’étudier la tangente à C en ce point.
1. Pour tout nombre réel t , on note M le point de coordonnées (t ; e−t ) de la courbe C .
On considère la fonction h qui, au nombre réel t , associe la distance OM.
On a donc : h(t )=OM, c’est-à-dire : h(t )=(t 2+e−2t)½.
a. Montrer que, pour tout nombre réel t ,
h′(t ) =f(t) /
(t2+e−2t)½
où f désigne la fonction étudiée dans la Partie I.
On pose u =
t2+e−2t ; u' = 2t-2e-2t.
h(u) = u½ ; h'(u) = ½u' u.
h'(t) =(
t-e-2t) / (t2+e−2t)½ = f(t) / (t2+e−2t)½ .
b. Démontrer que le point A de coordonnées (α ; e−α) est le point de la courbe C pour lequel la longueur OM est minimale.
Placer ce point sur le graphique donné.
h'(t) < 0 si t appartient à ]-oo ; a[ et h(t) est décroissante.
h'(t) >0 si t appartient à
] a ; +oo[ et h(t) est croissante.
h'(t) = 0 si t = a et h(t) est minimale.

2. On appelle T la tangente en A à la courbe C .
a. Exprimer en fonction de α le coefficient directeur de la tangente T .
g'(a)=
-e-a.
On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à e−α / α.
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration.:
Dans un repère orthonormé du plan, deux droites D et D′ de coefficients directeurs
respectifs m et m′ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit mm′ est égal à −1.
b. Démontrer que la droite (OA) et la tangente T sont perpendiculaires.
Tracer ces droites sur le graphique donné
.
g'(a) e−α / α = -e−2α / α ;
or
f (a) = a −e−2a  = 0 ; e−2a  =a ;
g'(a) e−α / α =-1. La droite (OA) et la tangente T sont donc perpendiculaires.




  
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