Mathématiques, suites, géométrie dans l'espace, bac S Métropole- La Réunion 2020.

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Géométrie dans l'espace.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère les points A( 1 ; 1 ; 4) ; B(4 ; 2 ; 5) ; C(3 ; 0 ; -2)  et J (1 ; 4 ; 2).
On note P le plan passant par les points A, B et C et D la droite passant par le point J et de vecteur directeur de coordonnées (1 ; 1 ; 3).
1. Position relative de P et D.
a. Montrer que le vecteur de coordonnées (1 ; -4 ; 1) est normal  au plan P.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan P.
x -4y +z +d = 0.
A appartient à P ; les coordonnées de A vérifient : 1*1 -4*1+4+d = 0 ; d = -1.
x -4y +z -1 = 0.
c. Montrer que D est parallèle à P.

Un vecteur au normal au plan P est perpendiculaire à la droite D.
Le plan P et la droite D sont donc parallèles.

On rappelle que, un point I et un nombre réel strictement positif r étant donnés, la sphère de  centre I et de  rayon r est l'ensemble des points M de l'espace vérifiant IM = r.
On considère le point I(1 ; 9 ; 0) et on appelle S la sphère de centre I et de rayon 6.
2. Position relative de P et S.
a. Montrer que la droite D passant par I et orthogonale au plan P coupe ce plan au point H(3 ; 1 ; 2).
Equations paramétriques de cette droite :
x = t+xI soit x = t +1 avec t réel.
y = -4t+yI =-4t+9.
z = t+zI = t.
Les coordonnées de H vérifient à la fois l'équation du plan P et l'équation de la droite D :
xH -4yH +zH -1 = 0.
xH = t+1 ; yH = -4t+9 ; zH = t.
t+1-4(-4t+9)+t-1=0 ; 18 t =36 ; t=2.
xH = 2+1=3 ; yH = -4*2+9=1 ; zH = 2.

Ou bien :
Le point H appartient donc à D.
De plus les coordonnées de H vérifient l'équation du plan P.
La droite D coupe donc le plan P en H.
b. Calculer la distance IH.
IH2 = (3-1)2 +(1-9)2+(2-0)2=4+64+4=72=9*8=32*22*2 ; IH = 72½ =6*2½.
On admet que pour tout point M du plan P on a IM > IH.
c. Le plan P coupe t-il la sphère S ? Justifier.
 IM > IH > 6. Le plan P ne coupe donc pas la sphère S.
3. Position relative de D et S.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D.
x = t+xJ soit x = t +1 avec t réel.
y = 1t+yJ = t+4.
z = 3t+zJ = 3t+2.
b. Montrer qu'un point M(x, y, z) appartient à la sphère S si et seulement si :
(x-1)2 +(y-9)2 +z2 = 36.
I(1 ; 9 ; 0)  centre de la sphère de rayon IM = 6. IM2 =36.
(x-1)2 +(y-9)2 +z2 = 36.
c. Montrer que la droite D coupe la sphère en deux points distincts. On ne cherchera pas à déterminer les coordonnées de ces points.
Les coordonnées des points d'intersection de la sphère S et de la droite D vérifient :
(x-1)2 +(y-9)2 +z2 = 36.
avec x = 1+t ; y = t+4 et z = 3t+2 ( t réel).
(1+t-1)2 +(t+4-9)2 +(3t+2)2 = 36.
t2+t2+25-10t+9t2+4+12t=36.
11t2+2t-7=0.
Discriminant D = 22-4*(-7)*11=312.
Le discriminant étant positif, l'équation admet deux solutions réelles. Il existe donc deux points d'intersections distincts.

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Suites.
On considère la suite (un) définie, pour tout entier n non nul  par :
un = n(n+2) / (n+1)2.
La suite (vn) est définie par :
v1 = u1 ; v2 = u1 xu2 et pour tout entier naturel n > 3 par vn = u1 x u2 x... xun = vn-1 x un.
1. Vérifier que v2 = 2 /3 puis calculer v3.
u1 =3 /22=3 / 4.
u2 =2*4/32=8 /9.
u3 =3*5/42=15 /16.
v1=3 /4 ; v2 =3 / 4 * 8 / 9 =2 / 3.
v3 =
3 / 4 * 8 / 9 * 15 / 16 = 5 / 8.
2. Compléter l'algorithme suivant afin que, après son exécution, la variable V contiennent la valeur de vn ; n est entier non nul défini par l'utilisateur.
V<--1
Pour i variant de 1 à n
U <--
i(i+2) / (i+1)2.
V <-- V*U
Fin pour.
3.a. Montrer que, pour tout entier n non nul, un = 1 -1 /(n+1)2.
1 -1 /(n+1)2 = [(n+1)2 -1] /(n+1)2 = (n2+2n) / (n+1)2 =n(n+2) / (n+1)2 =un.
3.b. Montrer que pour tout entier n non nul, 0 < un < 1.
un, quotient de nombres strictement positifs, est strictement positif.
1 /(n+1)2 est stricterment positif.
un =1 -1 /(n+1)2 est strictement inférieur à 1.
4.a  Montrer que la suite (vn) est décroissante.
vn = u1 x u2 x... x un , produit de facteurs strictement positifs, est strictement positif.
v1 < v2 ( voir question 1).
0 < un < 1, donc 0 < vn-1 x un < vn-1.
Or vn = vn-1 x un, donc 0 < vn < vn-1. La suite (vn) est donc décroissante.
4.b. Justifier que la suite (vn) est convergente.
La suite (vn) est décroissante et minorée pa zéro : donc elle est convergente.
5.a. Vérifier que, pour tout entier naturel non nul, vn+1 =vn (n+1)(n+3) / (n+1)2.
vn+1 = vn x un+1 = vn x[1 -1 /(n+1)2] =vn [ (n+1)(n+1+2) / (n+1)2].
5.b. Montrer par récurence que, pour tout entier naturel non nul, vn = (n+2) / [2(n+1)].
Initialisation :
v1 = (1+2) / [2(1+1)] =3 /4 est vrai.
Hérédité :
vp = (p+2) / [2(p+1)] est supposé vrai.
vp+1 =vp (p+1)(p+3) / (p+2)2.
vp+1 = (p+2) / [2(p+1)] * (p+1)(p+3) / (p+2)2.
vp+1 =(p+3) / [2(p+2)].
La propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vrai pour tout entier naturel non nul.
5.c. Déterminer la limite de la suite (vn).
vn = (n+2) / [2(n+1)].
vn = (1+2 / n) / [2(1+1/n)].
1 /n et 2 /n tendent vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
vn tend vers 0,5.
6. On considère la suite (wn) définie par :
w1 = ln(u1) ; w2 = ln(u2) et pour n > 3 par wn =
ln(u1)+ ln(u2) +.... +ln(un).
Montrer que w7 = 2 w1.
w7 = ln(u1)+ ln(u2) +ln(u3)+ ln(u4)+ ln(u5) +ln(u6)+ln(u7).
w7 = ln(u1 * u2 *u3 *u4 *u5 *u6 *u7) ; w1 = ln(u1) =ln(3 /4).
un = n(n+2) / (n+1)2.
u1= 3/4 ; u2 =8 / 9 ;
u3 =15 / 16 ; u4 =24 / 25 ; u5 =35 / 36 ; u6 =48 / 49 ; u7 =63 / 64 ;
u1 * u2 *u3 *u4 *u5 *u6 *u7 =(3 x 8 x 15 x 24 x 35 x 48 x 63) / (4 x 9 x 16 x 25 x 36 x 49 x64)=0,5625.
w7=ln(0,5625) =ln(0,75)2 = 2 ln (0,75) = 2 ln(w1).

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