Mathématiques, fonction, probabilités, bac S Métropole- La Réunion 2020.

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Fonction.
On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = 2ex /(ex+1). On donne sa courbe représentative.

1. Calculer la limite de f en moins l'infini et interpréter le résultat.
Le terme ex tend vers zéro quand x tend vers moins l'infini.
f(x) tend donc vers zéro quand x tend vers moins l'infini.
L'axe des abscisses y = 0 est asymptote à la courbe.
2. Montrer que la droite d'équation y = 2 est asymptote à la courbe.
f(x ) =2 / [ 1 +e-x] .
Le terme e-x tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini. f(x) tend vers 2 quand x tend vers plus l'infini.
3. Calculer f '(x).
On pose u = ex, v = 1+ex ; u' = ex ; v' = ex.
(u'v-v' u) / v2 = (ex( 1+ex)-e2x) / (1+ex)2 =ex /(1+ex)2 .
f '(x) = 2
ex /(1+ex)2 .= f(x) / (1+ex).
4. Montrer que f est croissante sur R.
ex et (1+ex)2 sont positifs sur R.
f '(x) étant strictement positive, la fonction f(x) est strictement croissante sur R.
5. Montrer que la courbe passe par le point I (0 ; 1) et que la tangente à la courbe en I a pour coefficient directeur 0,5.
 Si le point I appartient à la courbe, ces coordonnées vérifient :
f(0) =2 e0 /(1+e0) = 2 / 2 = 1 = yI.
Coefficient directeur de la tangente en ce point I : f '(0) =
f(0) / (1+e0)= 1 /(1+1) = 0,5.

Une entreprise souhaite fabriquer des flûtes ( verre à pied ) de forme allongée de contenance 12,5 cL.
A l'aide de la fonction f, le fabricant modèlise le profil du contenant de la flûte.
Soit A un point  de la courbe d'abscisse a  > 0. La rotation  autour de l'axe des abscisses appliquée à la partie de la courbe limitée par les points A et i engendre une surface modèkisant le contenant de la flûte en prenant pour unité 1 cm. L'objectif est de déterminer a pour que le volume soit de 12,5 cL.

1. Vérifier, pour tout réel x > 0, l'égalité : (f(x))2 =4 [ ex/(1+ex) +(-ex) / (1+ex)2].
[ ex/(1+ex) +(-ex) / (1+ex)2] = [ ex (1+ex) / (1+ex)2 +(-ex) / (1+ex)2] = [ ex (1+ex) +(-ex)] / (1+ex)2.
(e2x+ex-ex) /
(1+ex)2= e2x / (1+ex)2=  f(x)2 / 4.
2. Déterminer une primitive de chacune des fonctions : g(x) =
ex / (1+ex) et h(x) = -ex /(1+ex)2.
On pose u = ex +1 ; u' = ex ; g(u) = u' / u.
Primitive de g(x) :G(x) = ln(u) = ln(
1+ex).
On pose w =( ex +1) ; w ' = ex  ; h(w) = - w' / w2 .
Primitive de h(x) : H(x) = 
1 / ( ex +1).
3. En déduire que pour tout réel a > 0 : V(a) = 4 p[
ln(1+ea) / 2 + 1 /(ea+1) -0,5]
V(a) =4 p [G(a) -G(0) -0,5( H(a)-H(0)]
V(a) =
4 p [ln(1+ea) -ln(2) + 1/ (1+ea)-0,5)].
V(a) =
4 p ([ln(1+ea)/2)+ 1/ (1+ea)-0,5)].
4. Déterminer a à l'aide de la calculatrice. 12,5 cL = 125 cm3.
 V(11,1) = 124,4 ; v(11,2) = 125,6) ; a ~11,1 cm.

Un client commande un lot de 400 flûtes. et constate que 13  d'entre elles ne sont pas conformes aux caractéristiques annoncées. Le responsable commerciale affirme que 98 % des flûtes sont conformes.
Le lot du client permet-il au risque de 5 % de mettre en doute l'affirmation du commercial ?
n =400 ; p = 0,98 ; n > 30 ; np =400 x0,98 =392 > 5 ; n(1-p) = 400 x0,02 = 8 > 5.
[p(1-p) / n ]½ =
[0,98 x0,02 / 400 ]½ =7 10-3.
1,96 x7 10-3 ~0,0137.
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
[0,98 -0,0137 ; 0,98 +0,0137) soit : [  0,966 ;0,994 ].
Fréquence observée : (400-13) / 400 =0,9675.
Cette valeur appartient à l'intervalle de confiance. L'affirmation ne peut pas être remise en cause.

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Probabilités.
Une machine fabrique des boules destiné à un jeu de hasard. La masse d'une boule peut être modélisée par une variable aléatoire M suivant une loi normale d'espérance 52 et d'écart type s. Les boules dont la masse est comprise entre 51 et 53 g sont dites conformes.
1. Avec les réglages initiaux de la machine, on a s = 0,437. Calculer la probabilité qu'une boule soit conforme. Donner une valeur approchée à 10-1 près.
Partie A.
La calculatrice ou les tables donnent : P(M <51)=0,01106 ; P(M <53)=0,99894 ;
P ( 51 < M < 53)= 0,99894 -0,01106 =0,988 ~1.
2. On considère que la machine est correctement réglée si au moins 99 % des boules qu'elle fabrique sont conformes. Déterminer une valeur approchée de s qui permette d'affirmer que la machine est correctement réglée.
On pose Z =(M-52) / s ; Z suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
P ( 51 < M < 53)  =0,99 ;
P ( 51-52 < M -52< 53-52)  > 0,99 ;
P ( -1 < M -52< 1)  > 0,99 ; P ( -1/ s < Z < 1/ s> 0,99 ;
2 P
(Z < 1/ s)-1 > 0,99 ; 2 P(Z < 1/ s) > 1,99 ; P(Z < 1/ s) > 0,995.
La calculatrice donne : 1 / s > 2,576 ; s < 0,388.

Partie B.
La pesée de boules se fait sur une balance électronique précise. Chaque jour on vérifie que la balance n'est pas déréglée. La durée, un jour, de l'utilisation de ces balances avant des règlements est modèlisée par une variable aléatoitre T qui suit une loi exponentielle de paramètre l. La courbe  représentative de la fonction densité de cette variable T est représentée ci-dessous.

1.a Par lecture graphique, donner un encadement de l d'amplitude 0,01.
Fonction de densité de cette variable T : f(x) = l exp(-lt). f(0) = l ;
Le graphique indique : 0,04 < l < 0,06.
1.b. L'aire du domaine grisé est égal à 0,45. Déterminer la valeur exacte de l.
P(X < 11 ) = 1-exp(-11 l) = 0,45 ;
exp(-11 l) = 0,55.
-11 l= ln(0,55) ; l= -ln(0,55) / 11~0,054.
2. Déterminer, à un jour près, la durée d'utilisation d'une balance sans qu'elle ne se dérègle.
Espérance de la variable T : 1 / l = 1 / 0,054 ~18,51 ( 19 jours).
3. Une balance est mise en service le 1er janvier 2020. Elle fonctionne sans se dérégler du 1er au 20 janvier inclus.
Déterminer la probabilité qu'elle fonctionne jusqu'au 31 janvier inclus.
Cette loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
P T > 20 ( T > 31) =P (T > 11) = 1 -T < 11) =1 -0,45 = 0,55.

Partie C.
On dispose de deux urnes U et V contenant des boules fabriquées comme précédemment. Sur chaque boule est inscrit un nombre -1, 1 ou 2.
L'urne U contient une boule portant le nombre 1 et trois boules portant le nombre -1.
L'urne V contient une boule portant le nombre 1 et trois boules portant le nombre 2.
On considère un jeu dans lequel chaque partie se déroule de la manière suivante :
 on tire au hasard une boule dans l'urne U, on note x le nombre inscrit sur cette boule puis on la remet dans l'urne V.
Dans un deuxième temps, on tire au hasard une boule dans l'urne V et on note y le nombre inscrit sur cette boule.
On considère les événements suivants :
U1 : on tire une boule dans l'urne U portant le nombre 1  ( x = 1).
U-1 : on tire une boule dans l'urne U portant le nombre -1  ( x = -1).
V1 : on tire une boule dans l'urne V portant le nombre 1  ( y = 1).
V2 : on tire une boule dans l'urne V portant le nombre 2  ( y = 2).
V-1 : on tire une boule dans l'urne V portant le nombre -1  ( y = -1).
1. Compléter l'arbre pondéré représenté ci-dessous.

2. Dans ce jeu, on associe à chaque partie le nombre complexe z = x +iy. Calculer les probabilités des événements suivants :
A : z = -1-i ; P(A) =0,15.
B : z est solution de l'équation t2 +2t+5=0.
 Discriminant D = 22-4*5 = -16 = 16 i2 =(4i)2.
Solutions : (-2 +4i) / 2 = -1+2i et (-2-4i) / 2 = -1-2i.
z = -1+2i et z =-1-2i ; P(B) =0,45.
C :  Dans le plan complexe, le point M d'affixe z  appartient au disque de centre O et de rayon 2.
Equation du cercle x2 +y2 = 4.
Si x = ±1 et y = ±1; 1 +1 différe de 4.
Si x = ±1 et y = 2; 1 +4 différe de 4.
P(C) = 0.

3. Lors d'une partie, on obtient le nombre 1 sur chacune des boules tirées. Montrer que le nombre complexe z associé à cette partie vérifie :
 z2020 = -21010.
z = 1+i ; |z| = (12 +12)½ = 2½.
z = 1 /2½ +i /2½ = cos ( p/4) + i sin (p/4) ; z = 2½ exp ( i p/4).
 z2020 =21010 exp ( i p/4*2020) =21010 exp ( i p * 505) =21010 exp ( i p * (2*252+1)) =21010 exp ( i p )= -21010.

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