Mathématiques, Brevet Amérique du Nord 2020.

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Exercice 1. 20 points
ABC est un triangle tel que : AC = 10,4 cm, AB =4cm et BC = 9,6 cm.
Les points ALet C sont alignés.
Les points B, K et C sont alignés.
La droite (KL) est parallèle à la droite (AB). CK = 3 cm.
1. Construire la figure en laissant les traits de construction.

2. Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
AC2 =10,42 =108,16.
AB2 + BC2 =42 +9,62 =108,16.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle aBC est rectangle en B.
3. Calculer la longueur CL en cm.
AB et CL sont parallèles ; A, L, C sont alignés et B, K, C sont alignés.
Relation de Thalès : BC / CK = AC / CL ;
9,6 / 3 = 10,4 / CL ; CL = 10,4 *3 / 9,6 =3,25 cm.
4. Calculer une valeur approchée de l'angle CAB au degré près.
sin (CAB) = BC / AC =9,6 / 10,4 ~0,923.
L'angle CAB mesure environ 67°.

Exercice 2. QCM. 15 points.
1. Si on multiplie la longueur de chaque arête d'un cube par 3, alors le volume du cube sera multiplié par :
3 ; 9 ; 12 ; 27.
Volume du cube = côté 3.
En multipliant par 3 le coté, le volume est multiplié par 33 = 27.
2. Lorsque x = -4, x2+3x+4 est égal à : 8 ; 0 ; -24 ; -13.
(-4)2 +3*(-4)+4 = 16-12+4=8.
3. 1 / 3 +1 /4 est égal à :2 /7 ; 0,583 ; 7 /12 ; 1 /7.
4 / 12 +3 /12 = (3+4) / 12 = 7 /12.
4. La notation scientifique de 1 500 000 000 est :
15 10-8 ; 15 108 ; 1,5 10-9 ; 1,5 109.
1 500 000 000 = 1,5 * 1 00 000 000 = 1,5 109.
5. (x-2)*(x+2) est égal à : x2-4 ; x2+4 ; 2x-4 ; 2x.
(x-2)*(x+2) = x2-22 = x2-4.

Exercice 3. 18 points.
1. On considère un carré ABCD de centre O, partagé en 4 polygones superposables numérotés 1, 2, 3 et 4.

a. Quelle est l'image du polygone 1 par la symétrie de centre O ?
Le polygone 3.
2. Quelle est l'image du polygone 4 par la rotation de centre O qui transforme le polygone 1 en polygone 2.
Rotation de centre O, de 270° ( 3 / 4 de tour) dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
Ou rotation de centre O, de 90 ° ( 1 / 4 tour),  dans le sens des aiguilles d'une montre.
Dans cette rotation l'image du polygone 4 et le polygone 1.
3. La figure ci-dessous est un pavage dont le motif de base est le carré ABCD. Quelle transformation partant du polygone 1 permet d'obtenir le polygone 5 ?

Translation, vers la droite, de longueur AB.
3. On souhaite faire imprimer ces motifs sur un tissu rectangulaire de longueur 315 cm et de largeur 270 cm. Le tissu doit être entièrement recouvert de carrés ABCD, sans découpe et de sorte que le côté du carré mesure un nombre entier de cm.
a. Montrer qu'on peut choisir des carrés de 9 cm de côté.
315 / 9 =35 ; 270 / 9 =30.
b. Dans ce cas, combien de carré seront imprimés sur le tissu ?
Aire du tissu : 315 x 270 =85050 cm2.
Aire d'un carré : 81 cm2.
Nombre de carré : 85 050 /81 =1050.
Ou plus simplement : 30 x35 = 1050.

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Exercice 4. (24 points)
Voici la série  des temps exprimés en secondes, et  réalisés par les nageuses de la finale du 100 m féminin nage libre lors des championnats d'Europe de natation 2018.
53,23 ; 54,04 ; 53,61 ; 54,52 ; 53,35 ; 52,93 ; 54,56 ; 54,07.
1. La française C. BONNET est arrivée troisième à cette finale. Quel est le temps de cette nageuse ?
52,93 ; 53,23 ; 53,35 ; 53,61 ; 54,04 ; 54,07 ; 54,52 ; 54,56.
2. Quelle est la vitesse moyenne de la nageuse ayant parcouru le 100 m en 52,93 s ?
100 / 52,93 ~1,9 m /s.
3. Comparer moyenne et médiane de cette série.
Moyenne = (
52,93+ 53,23 + 53,35 + 53,61 + 54,04 + 54,07 + 54,52 + 54,56) / 8 ~53,79.
La médiane est comprise entre 53,61 et 54,04.
Moyenne et médiane peuvent être identiques.
Sur une feuille de calcul, on a reporté le classement des dix premiers pays selon le nombre de médailles d'or toutes disciplines confondues.

4. Est-il vrai qu'à elles deux, Grande Bretagne et Italie ont obtenu autant de médailles d'or que la Russie ?
13 +8 =21 ; Russie : 23 > 21. C'est donc faux.
5. Est-il vrai que plus de 35 % des médailles remportées par la France sont des médailles d'or ?
4 médailles d'or sur un total de 12 : 4 / 12 = 1 /3 = 0,33  (33 %). Donc, c'est faux.
6. Quelle formule a t-on pu saisir dans la cellule F2, avant qu'elle ne soit étirée vers le bas jusqu'à la cellule F11 ?
= SOMME(C2:E2)

Exercice 5. ( 23 points).
On dispose de deux urnes :
une urne bleue contenant trois boules bleues numérotées 2, 3 et 4 ;
une urne rouge contenant 4 boules rouges numérotées 2, 3, 4 et 5.
Les boules sont indiscernbles au toucher et ont la même probabilité d'être tirées.
On s'interesse à l'expérience aléatoire suivante :
on tire au hasard une boule bleue et on note son numéro, puis on tire au hasard une boule rouge et on note son numéro.
On précise que le tirage (3 ; 4) est différent du tirage (4 ; 3).
1. On définit les événements suivants :
" on obtient deux nombres premiers " et " la somme des deux nombres est égale à 12".
a. Pour cahcun des événements précédents, dire s'il est possible ou impossible.
" on obtient deux nombres premiers " : (2 ; 2) ou (2 ; 3).... c'est possible.
"
a somme des deux nombres est égale à 12" ; c'est impossible ( 4+5= 9 < 12.
b. Déterminer la probabilité de l'événement " on obtient deux nombres premiers".

2
3
4
5
2
(2 ; 2) (2 ; 3) (2 ; 4) (2 ; 5)
3
(3 ; 2) (3 ; 3)
(3 ; 4) (3 ; 5)
4
(4 ; 2) (4 ; 3) (4 ; 4)
(4 ; 5)
6 cas favorables sur 12 cas possibles.
Probabilité cherchée : 6 / 12 =0,5.
2. Justifier que la probabilité d'obtenir un double ( les deux boules portent le même numéro) est 0,25.
3 cas favorables sur 12 cas possibles.
Probabilité cherchée : 3 / 12 = 0,25.
3. On souhaite simuler cette expérience 1000 fois.
On écrit le programme incomplet suivant :

a. Par quels nombres faut-il remplacer les lettres A, B et C ?
A = 1000 ; B = 4 ; C = 5.
b. Dans le script principal, indiquer où placer le bloc " Tirer deux boules".
Juste après l'instruction " répéter A fois".
c. Dans le script principal, indiquer où placer l'élément " mettre Nombre de boules à 0".
Juste avant l'instruction " répéter A fois".
d. On souhaite obtenir la fréquence d'apparition du nombre de "doubles" obtenus.
parmi les instructions ci-dessous, laquelle faut-il placer à la fin du script principal après la boucle "répéter" ?
dire Nombre de doubles ; dire Nombre de doubles / 1000   vrai ; dire Nombre de doubles / 2.


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