Mathématiques, équation différentielle, logarithme, bac Asie 2021.

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Equation différentielle, exponentielle.
Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres.
Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale.
Partie I : modèle discret
Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale 1 mètre.
Pour tout entier naturel n, on note un la taille, en mètre, du bambou n jours après le début de l’observation. On a ainsi u0 = 1.
Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l’égalité :
un+1 = un +0,05(20−un) pour tout entier naturel n.
1. Vérifier que u1 = 1,95.
u1 = u0 +0,05(20-1)=1+0,05 x19 =1,95.
2. a. Montrer que pour tout entier naturel n, un+1 = 0,95un +1.
un+1 = un +0,05(20−un).
un+1 = un +0,05 x 20−0,05un.
un+1 = 0,95un +1.
b. On pose pour tout entier naturel n, vn = 20−un.
Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le terme initial v0 et la raison.
vn+1 = 20−un+1.
vn+1 = 20− (0,95un +1).
vn+1 = 19− 0,95un .
vn+1 = 0,95 x20− 0,95un .
vn+1 = 0,95 x(20− un ).
vn+1 = 0,95  vn .
(vn) est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme v0 =20-u0 = 19.
c. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 20−19×0,95n .
vn = 19 x0,95n =
20−un.
un = 20−19×0,95n .
3. Déterminer la limite de la suite (un).
-1 < 0,95 <1, donc 0,95n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.
un tend vers 20.

Partie II : modèle continu
Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, enmètre, en fonction du temps t exprimé en jour.
D’après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’équation différentielle
(E) y' = 0,05(20− y)
où y désigne une fonction de la variable t , définie et dérivable sur [0 ; +∞[ et yœ désigne sa fonction dérivée.
Soit la fonction L définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
L(t)= 20−19 e−0,05t .
1. Vérifier que la fonction L est une solution de (E) et qu’on a également L(0) = 1.
L'(t) =19 x0,05
e−0,05t =0,95 e−0,05t .
Repport dans (E) :
0,95 e−0,05t =0,05(20-20−19 e−0,05t ).
0,95 e−0,05t =0,05(20-(20−19 e−0,05t )).
0,95 e−0,05t =0,05 x19e−0,05t est vérifié quel que soit t.
2. On prend cette fonction L comme modèle et on admet que, si on note L’ sa fonction dérivée, L’(t) représente la vitesse de croissance du bambou à l’instant t.
a. Comparer L'(0) et L'(5).
L'(0) =0,95e0 =0,95.
L'(5) =0,95e-0,05 x5 ~0,74.
L'(0) ~1,3  fois L'(5).

b. Calculer la limite de la fonction dérivée L' en +∞.
L'(t) =0,95 e−0,05t .
Le terme en exponentielle tend vers zéro si le temps tend vers plus l'infini.
L '(t) tend vers zéro quand t tend vers plus l'infini.
Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice ?
Oui, quand le bambou atteint sa taille maximale, il ne croît plus ( sa vitesse de croissance est donc nulle).

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Logarithme
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Soit la fonction f définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par f (x)= x −ln(x −1).
On considère la suite (un) de terme initial u0 = 10 et telle que un+1 = f (un) pour tout entier naturel n.
Partie I :
La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite (un).

1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre de (un) par recopie vers le bas?
=B2-ln(B2-1).
2. À l’aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la le calcul des valeurs approchées limite de la suite (un).
La suite (un) est décroissante et tend vers 2,00.

Partie II :
On rappelle que la fonction f est définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par f (x)= x −ln(x −1).
1. Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 1.
x-1 tend vers zéro ; ln(x-1) tend vers moins l'infini.
-ln(x-1) tend vers plus l'infini.
1-ln(x-1) tend vers plus l'infini quand x tend vers 1.
 On admettra que f(x) tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini.
2. a. Soit f ' la fonction dérivée de f .Montrer que pour tout x ∈]1 ; +∞[, f '(x) =(x-2) / (x-1).
f '(x) = 1-1/(x-1) =(x-1-1) / x-1) =(x-2) / (x-1).
b. En déduire le tableau des variations de f sur l’intervalle ]1 ; +∞[, complété par les limites.

c. Justifier que pour tout x ⩾ 2, f (x)⩾ 2.
f(2) = 2 et f(x) est strictement croissante sur
[2 ; +∞[.
D'après le théorème de la bijection, f(x) > 2 pour tout x > 2.

Partie III :
1. En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que un ⩾ 2 pour tout entier naturel n.
Initialisation : u0 =10 > 2, la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n soit
un ⩾ 2.
Démontrons que un+1 > 2.
un+1 = f(un) .
D'après la partie II,
f (un) ⩾ 2, donc un+1 > 2.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier n.

2. Montrer que la suite (un) est décroissante.
un+1-un = f(un)-un =un-ln(un-1) -un = -ln(un-1).
Or
un-1 > 1, donc ln(un-1) > 0 et ln(un-1) < 0.
un+1 < un , la suite est décroissante.
3. En déduire que la suite (un) est convergente. On note ℓ sa limite.
La suite est décroissante et minorée, donc elle converge.
4. On admet que ℓ vérifie f (ℓ) = ℓ. Donner la valeur de ℓ.
l=l-ln(l-1).
ln(l-1) = 0.
l-1 = 1 soit l=2.




  
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