Mathématiques, logarithme, exponentielle, bac Asie 2021.

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Logarithme.
Partie I : lectures graphiques.
f désigne une fonction définie et dérivable sur R.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée f ′.

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes
1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f en O.
f '(0) = 0,4.
2. a. Donner les variations de la fonction dérivée f ′.
f '(-2) = 0 ; f '(1) = 0.

b. En déduire un intervalle sur lequel f est convexe.
La dérivée f '(x) est croissante sur [-2 ; 1] ; f(x) est convexe sur cet intervalle.

Partie II : étude de fonction.
La fonction f est définie sur R par
f (x) = ln(x2 +x +2,5)¶.
1. Calculer les limites de la fonction f en +∞et en −∞.
Quand x tend vers plus l'infini :
x2 +x +2,5 tend vers plus l'infini et f(x) tend vers plus l'infini.
Quand x tend vers moins l'infini : x2 +x +2,5 tend vers plus l'infini et f(x) tend vers plus l'infini.
2. Déterminer une expression f ′(x) de la fonction dérivée de f pour tout x ∈ R.
On pose u =x2+x+2,5 ; u' = 2x+1.
f '(x) = u ' / u = (2x+1) / (x2+x+2,5).
3. En déduire le tableau des variations de f . On veillera à placer les limites dans ce tableau.
x2+x+2,5 >0 ; f '(x) a le signe de 2x+1.

4. a. Justifier que l’équation f (x) =2 a une unique solution a dans l’intervalle [−0,5 ; +∞[.
Sur
l’intervalle [−0,5 ; +∞], f(x) est strictement croissante.
f(-0,5) =ln(2,25) < 2 et f(x) tend vers plus l'infini si x tend vers plus l'infini.
D'après le théorème de la bijection,
f (x) =2 a une unique solution a dans l’intervalle [−0,5 ; +∞[.
b. Donner une valeur approchée de a à 10−1 près.
a ~1,8.
5. La fonction f ′ est dérivable sur R. On admet que, pour tout x ∈ R, f ′′(x) =(−2x2 −2x +4) / (x2+x +2,5)
Déterminer le nombre de points d’inflexion de la courbe représentative de f .
Solutions de
−2x2 −2x +4 =0 :
Discriminant D = (-2)2 -4(-2)*4 =36 = 62.
Solutions : x1 = (2-6) / (-4) =1 et
x2 = (2+6) / (-4) = -2.

La dérivée seconde s'annule et change de signe pour x = -2 et x = 1. La courbe présente deux points d'inflexion.
 

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Exponentielle
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Partie 1.
Considérons l’équation différentielle
y′ = −0,4y +0,4 (E)
où y désigne une fonction de la variable t , définie et dérivable sur [0 ; +∞[.
1. a. Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.
y' = 0 soit -0,4y +0,4 = 0 soit y = 1.
b. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.
Solution générale de y' +0,4 y =0 :
y = A e-0,4 t avec A une constante.
Solution générale de (E) :
y = A e-0,4 t +1.
c. Déterminer la fonction g, solution de cette équation différentielle, qui vérifie g(0) = 10.
10 = A e0+1 ; A = 9.
g(t) = 9
e-0,4 t +1.

Partie II.
Soit p la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
p(t )= 1 /g(t ) =1 / (1+9e−0,4t).
1. Déterminer la limite de p en plus l'infini.
e−0,4t tend vers zéro si t tend vers plus l'infini et p(t) tend vers1.
2. Montrer que p′(t )=3,6e−0,4t / ( 1+9e−0,4t )2 pour tout t ∈ [0 ; +∞[.
On pose u =
1+9e−0,4t ; u' = -9 *0,4 e−0,4t ;
p'(t) = -u'(t)  u-2 =
3,6e−0,4t / ( 1+9e−0,4t )2 .
3. a. Montrer que l’équation p(t )=0,5 admet une unique solution a sur [0 ; +∞[.
p'(t) est strictement positive sur
[0 ; +∞[.
p(t) est strictement croissante sur cet intervalle.
p(0) =0,10 < 0,5 ;
si t tend vers plus l'infini et p(t) tend vers1.
D'après le théorème de la bijection, p (t) =0,5 a une unique solution a dans l’intervalle [0 ; +∞[.
b. Déterminer une valeur approchée de a à 10−1 près à l’aide d’une calculatrice.
a = 5,5.

Partie III
1. p désigne la fonction de la partie II.
Vérifier que p est solution de l’équation différentielle y′=0,4y(1−y) avec la condition initiale y(0) =0,1 où y désigne une fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[.
p(t )= 1 / (1+9e−0,4t).
p′(t )=3,6e−0,4t / ( 1+9e−0,4t )2 .
Repport dans l'équation différentielle :
3,6e−0,4t / ( 1+9e−0,4t )2 =0,4[1-1 / (1+9e−0,4t)] / (1+9e−0,4t).
3,6e−0,4t / ( 1+9e−0,4t )2 =0,4[9e−0,4t] / (1+9e−0,4t)2 est vérifiée quel que soit t.
2. Dans un pays en voie de développement, en l’année 2020, 10% des écoles ont accès à internet.
Une politique volontariste d’équipement est mise en oeuvre et on s’intéresse à l’évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet.
On note t le temps écoulé, exprimé en année, depuis l’année 2020.
La proportion des écoles ayant accès à internet à l’instant t est modélisée par p(t ).
Interpréter dans ce contexte la limite de la question II 1 puis la valeur approchée de a de la question II 3. b. ainsi que la valeur p(0).
p(0) = 0,1 : en 2020 10 % des écoles ont accès à internet.
Au cours des années 2025 - 2026 la moitié des écoles auront accès à internet.
Au bout d'un temps très long, toutes les écoles auront accès à internet.


  
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