Sciences physique, Concours ITPE 2019.

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Première partie- Étude d'un projet de jeu d'adresse.
Un propulseur (P) envoie une bille (B) sur un guide ( type gouttière). Cette gouttière commence horizontalement, fait boucle ( comme un looping ) de diamètre D, puis remonte. Sur cette montée on peut placer une sonnette ( S) à une hauteur H réglable. Le but du jeu est d'actionner assez précisément le propulseur pour que la bille effectue un tour sans atteindre la sonnette.

La bille de masse m = 20 g est assimilée à un point matériel, soumis à un ensemble de forces dont la résultante est notée F. On étudie l'évolution de ce point dans le référentiel terrestre supposé galiléen R0, sa vitesse dans ce référentiel est notée v. Le champ de pesanteur est ici considéré comme uniforme. Les frottements sont négligés.
A. Montée.
1. Enoncer et établir le théorème de l'énergie cinétique.
La variation de l'énergie cinétique d'un système sur un trajet est égale à la somme des travaux des forces appliquées au système sur ce trajet.
On note vbas, la vitesse de la bille en bas de la montée et vhaut, sa vitesse en haut de la montée.
Varition de l'énergie cinétique de la bille : ½mv2haut - ½v2bas.
En absence de frottement, l'action du plan, perpendiculaire au plan, ne travaille pas.
Travail résistant du poids lors de la montée : W = -mg z avec z, altitude atteinte.
Théorème de l'énergie cinétique :
½mv2haut - ½mv2bas = - mgz.
2. Etablir l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur du point matériel de masse m.
Epp = mgz. L'origine de l'énergie potentielle est prise sur le sol horizontal.
3. Exprimer la vitesse maximale au bas de la montée pour que la bille ne touche pas la sonnette en fonction de g et H.
La vitesse est nulle au point le plus haut.
: 0 - ½mv2bas = - mgH.
vbas = (2gH)½.
4. Calculer cette vitesse vmax pour H = 30 cm.
vbas = (2 x9,81 x0,30)½~2,4 m /s.
B. Boucle.
5. Exprimer la vitesse de la bille v et son accélération en coordonnées polaires dans la boucle.

6. Schématiser les forces s'exerçant sur la bille en un point de la boucle.
La liaison bille-rails étant parfaite, l'action des rails sur la bille est perpendiculaire au rail. Les rails guident la bille et exerce une action dirigée vers O'.

L'accélération est centripète ; sa valeur est a = v2 / R.
Le vecteur vitesse reste tangent à la trajectoire et possède le sens du mouvement.
7. Exprimer la vitesse minimale en haut de la boucle v'min pour que la bille, effectuant un mouvement circulaire dans la boucle, soit toujours en contact avec la gouttière en fonction de g et D.
La seconde loi de Newton s'écrit suivant er : -N + mg cos q = -mv2/R. (1)
Théorème de l'énergie cinétique entre B et la position repérée par q :
½mv2 - ½mvB2 =
-mgR(1-cos q) ; v2 =vB2 -2gR(1-cos q). Repport dans (1)
N = mg cos q +m(
vB2 -2gR(1-cos q))/ R =3 m g cos q+ m vB2/ R -2mg.

8. Exprimer la vitesse minimale au bas de la boucle pour que la bille effectue le looping toujours en contact avec la gouttière en fonction de g  et D.
Le chariot doit rester au contact des rails : N >0 quelle que soit la valeur de q, en particulier lorsque q = p.
-5mg+m vB2/ R >0 ; vB2>5 gR.
vmin =(5gR)½.

9. Calculer vmin pour D = 10 cm.
vmin = (5 x9,81 x0,05)½ ~1,6 m / s.

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C. Propulseur.
Le propulseur peut être assimilé à un ressort (R) de raideur k de masse négligeable et un cylindre (C) concentrique de masse m' solidaire au ressort en une extrémité. Ce ressort est comprimé avec la bille à l'autre extrémité lors de la propulsion. La distance x sur l'axe Ox horizontal désigne l'écart à la longueur à vide du ressort. Au repos x = 0.

10. Exprimer l'énergie accumulée Ea dans le ressort en fonction de k et x.
Ea = ½kx2.

11. Exprimer xmin la distance de compression pour que la bille atteigne la vitesse vmin en fonction de k, m, m' et vmin. Toute l'énergie accumulée dans le ressort est supposée transférée en énergie cinétique au système {cylindre - bille }.
En absence de frottement, le mouvement de la bille est rectiligne uniforme avant le looping.
½(m + m') v2min = ½kx2min.
xmin = vmin [( m+m') / k ]½.

12.  Exprimer xmax la distance de compression pour que la bille atteigne la vitesse vbas en fonction de k, m, m' et vbas.
½(m + m') v2bas = ½kx2max.
xmax = vbas [( m+m') / k ]½.

13. Calculer Dx = xmax - xmin pour un ressort de raideur k = 40 N / m et m' = 20 g.
Dx = (
vbas -vmin)[( m+m') / k ]½ = (2,4-1,6)( ( 0,020+0,020)/40)½ = 0,025 m = 2,5 cm.
14. Comment varie Dx si :
- H diminue ;
 vbas diminue et vmin reste inchangée, donc Dx diminue.
- on prend en compte les frottements.
La vitesse en bas de la montée sera plus grande, vmin à peu près la même si la distance propulseur - looping est faible.
Donc Dx augmente.

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Deuxième partie : l'énergie dans le monde.
I. Les unités d'énergie.
La référence constante au pétrole en économie conduit à utiliser la tonne équivalent pétrole ( tep).
15. L'unité d'énergie dans le système internationnal est le joule. Donner l'expression du joule en unités de base ( mètre, seconde, kilogramme ).
Energie = travail d'une force = force fois distance = masse fois accélération x distance ( kg m2 s-2).
16. Calculer la valeur en J de 1 kWh.
1 kWh = 1000 x3600 = 3,6 106 J.
17. Calculer la valeur en kWh de 1 tep.
1 tep = 4,186 1010 J soit 4,186 1010 / (3,6 106) ~1,16 104 kWh.
18. Citer une autre unité d'énergie en physique et indiquer dans quel domaine elle est utilisée.
L'électron volt correspond à l'ordre de grandeur de l'énergie d'un électron au sein de l'atome.
19. 1000 kWh représentent 0,087 tep s'il sont produits par l'hydraulique ; 0,26 tep s'ils sont produits par centrale nucléaire et 0,86 tep par une centrale géothermique.
Exprimer le rendement des différentes centrales qui permettent de transformer ces énergies primaires en électricité.
1000 kWh = 1000 / (1,16 104) ~0,086 tep.
0,086 / 0,087 ~ 1 ( 100 %).
0,086 / 0,26 ~0,33 (33 %).
0,086 / 0,86 =0,1 ( 10 %).
20. La production mondiale d'énergie en 2017 (13511 Mtep )est répartie selon : (Mtep)
Energies d'origine fossiles : Pétrole : 4 391 ; charbon : 3770 ; gaz : 3162 soit un total de 11323.
11323 / 13511 = 0,838 ( 83,8 %).
Energie d'origine nucléaire : 594 soit 594 / 16511 ~0,044 ( 4,4 %).
Renouvelables : hydroélectricité 919 ; éolien : 257 ; solaire : 95 ; biomasse et géothermie : 135 ; agrocarburants : 81.
Total : 1487 ; 1487 / 13511 ~0,11 ( 11,0 %).


 


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