Effet Doppler relativiste, Concours général physique 2019.

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A. Approche intuitive de l'effet Doppler relativiste.
Le passager place une lampe sur le plancher du train. Au plafond, à la verticale de la lampe, il colle un miroir. La distance verticale entre la lampe et le miroir est notée H. Le passager relève la durée Dttrain entre l’évènement « un flash est émis par la lampe » (évènement A) et l’évènement « la lumière de ce même flash atteint un détecteur placé à côté de la lampe » (évènement B). Dans les calculs, on supposera que la position du détecteur est confondue avec celle de la lampe. L’observateur sur le
quai détermine lui aussi la durée
Dtquai entre les évènements A et B.


56. Énoncer le postulat d’Einstein relatif à la célérité de la lumière dans le vide.
Postulat d'Einstein : la célérité de la lumière dans le vide a même valeur dans toust les référentiels galiléens.

57. Référentiel lié au train.
Distance entre émetteur et miroir : H.
La lumière parcourt la distance 2 H à la célérité c.
Dttrain = 2 H / c.

58. Référentiel lié au sol.
La lumière parcourt la distance 2d.

Le train se déplaçant à la vitesse v, parcourt la distance L = 0,5 v Dtquai.
d2 = H2 +L2 =
H2 +(0,5 v Dtquai )2 ; d = [H2 +(0,5 v Dtquai )2]½.
Dans le train, la lumière parcourt la distance d =0,5c
Dtquai.
59. Les deux expressions précédentes permettent d'exprimer
Dtquai.
H2 +(0,5 v Dtquai )2=0,25 c2
( Dtquai )2 ;
H2 =0,25 (c2 -v2)( Dtquai )2 ; 2 H =(c2 -v2)½  Dtquai ;
Dtquai
=
2 H /(c2 -v2)½.
Or
Dttrain = 2 H / c.
Dtquai =c /(c2 -v2)½
Dttrain =[1 -v2 /c2] Dttrain  = g Dttrain  avec g =[1 -v2 /c2].
La durée d'un événement est minimale dans le référentiel propre à l'événement.

60. Etude de :
Dtquai / Dttrain -1= g-1=[1 -v2 /c2)]-1.
v2 /c2 étant très inférieur à 1 :
[1 -v2 /c2]~ 1 (-½) (-v2 /c2)
Dtquai / Dttrain -1~v2 /(2c2).
Pour v = 80 km / h soit 80 /3,6 =22,2 m /s :
Dtquai / Dttrain -1~22,22 /(2 x9 1016) ~2,7 10-15.
Dans ce cas, l'effet relativiste n'est par perçu.

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B. Retour sur l'expérience de Ives-Stilwell.
La relation l0 =c T0 est valable pour tout référentiel.
61. Période mésurée dans un référentiel lié au sol T = g T0.
Or l = c T , d'où :
l = c  g T0 = g l0.
62. Soit la grandeur SDl =½ (Dl+ +Dl-). On pose ß2 = v2 /c2.
On considère deux photons émis par un ion.
En cas d'éloignement :
Dl+  = g l + -l0 = g l0(1+ß) -l0 =l0 (g+ gß-1)
La longueur d'onde croît par effet Doppler et par effet relativiste.
En cas de rapprochement : Dl-  = g l - -l0 = g l0(1-ß) -l0 =l0 (g- gß-1)
La longueur d'onde décroît par effet Doppler et croît par effet relativiste.
SDl =½ (Dl+ +Dl-) =½[ l0 (g+ gß-1) +l0 (g- gß-1)] =l0 (g-1).
63. g =[1 -v2 /c2]~ 1 (-½) (-v2 /c2)~1 +½ ß2.
g-1 =½ ß2.
SDl =l0 (g-1)= ½ l0 ß2.
64. La grandeur SDl  / ß2 est égale à la constante ½ l0.
Les points suivants confirment ce résultat :
 (2,1 10-3 ; 1,1 pm) ;
SDl  / ß2 =1,1 10-12 / (2,1 10-3)2 =2,5 10-7 m.
 (3,4 10-3 ; 2,7 pm) ; SDl  / ß2 =2,7 10-12 / (3,4 10-3)2 =2,3 10-7 m.
 (4,4 10-3 ; 4,6 pm) ; SDl  / ß2 =4,6 10-12 / (4,4 10-3)2 =2,4 10-7 m.

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C. Décomposition du contenu spectral de la lumière émise.
65. comment procéder à l’aide d’une lentille convergente pour générer le faisceau de rayons parallèles qui éclaire le réseau ?
Une source ponctuelle est placée au foyer objet d'une lentille convergente.
Les rayons qui émergent de la lentille sont parallèles.

66. Comment doit-on positionner cette seconde lentille par rapport à l’écran ? par rapport au réseau ?
Si la plaque photographique se trouve dans le plan focal image de la lentille convergente, tous les rayons parallèles incidents convergent sur cette plaque.
67. Des ondes en phase donnent des interférences constructives.
La différence des durées des trajets issus des fentes est : Dt = a sin q / c.
Deux ondes en phase diffèrent d'un nombre entier de longueur d'onde : Dd = n l avec n entier.
Différence de chemin optique :
Dd = c Dt =a sin q .
n l =a sin q .
68.  Soit des rayons déviés du même angle q :
un rayon interfère avec ces deux plus proches voisins.
De proche en proche, tous ces rayons conduisent à des interférennces constructives.
69. sin q  = n l / a; q = arcsin(n l / a).
n = 0 : q = 0.
n =±1 :
q = arcsin (± 486 10-9 / (1,00 10-6) )=±29,1 °, en accord avec l'énoncé.
70. Le réseau permet d'obtenir un meilleur contraste est une intensité lumineuse 16 fois plus importante.
71. Précision sur les longuieurs d'onde : dl =l / R avec R = 5,91 103.
Dans le cas de la lumière visible :
à la limite de l'infrarouge :
dl = 800 10-9 /(5,91 103) =1,35 10-10 m = 0,135 nm.
à la limite de UV : dl = 400 10-9 /(5,91 103) =6,77 10-11 m = 0,068 nm.
Le montage ( figure 5) est trop imprécis.


 


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