Etude du radar de mesure balistique Concours Emia 2019.
Ecole Militaire Interarmes.

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Etude du radar de mesure balistique. ( 4 points )
Un radar, dénommé radar de mesure balistique, est installé sur le canon de 155 mm, monté
sur Ie CAESAR. Il permet de dêterminer la vitesse de l'obus à la sortie du canon.
Le principe physique de la mesure de la vitesse est basé sur l'effet Doppler.
Données
- la cêlérité de la lumière est c:3.108 m/s
- La frêquence d'êmission de l'onde émise par le radar esl fe - 10,525 GHz.
Questions.
1. Est ce qu'une onde électromagnétique est transversale ou longitudinale ?
Les champs magnétique et électrique étant perpendiculaires à la direction de propagation, l'onde électromagnétique est transversale.
2. Quelles sont les grandeurs qui se propagent dans le cas d'une onde électromagnétique ?
Le champ magnétique et le champ électrique se propagent.
3. Calculer la période T. de l'onde émise par le radar.
T = 1 / fe = 1 / (10,525 106) = 9,5012 10-8 s.
4. Calculer la longueur d'onde de l'onde émise par le radar.
l = c / fe = 3,00 108 /(10,525 106) =28,5 m.
Principe de la mesure par effet Doppler.
Premier cas.
L'axe du canon constitue un axe x'x. Pour simplifier les calculs, on considère que le radar est sur cet axe. Il est immobile. Sa position est le point O de l'axe x'x. Ce point est pris comme origine des abscisses. L'obus se déplace suivant cet axe Or.Il se déplace vers les x >0 avec une vitesse v, considérée comme constante. Son mouvement est supposé rectiligne sur la distance parcourue lors de la mesure.
La source (le radar) émet des ondes électromagnétiques de fréquence fe. Ces ondes êlectromagnétiques atteignent le mobile et sont réfléchies par celui-ci en direction du radar. Il est également récepteur.
On considère que le radar émet un signal continu en fonction du temps. Pour le raisonnement, le début de Ia période du signal est associé à l'émission du premier top qui se déplace à la célêrité c.
La fin de la première période (le début de la deuxième période) est associé à l'émission d'un second top, qui se déplace à la célérité c.

A Ia date t : 0 s, le radar émet un top et l'obus est à la distance d0 du point O.
5. Dêterminer l'équation horaire du top c'est à dire xondes(t),
à l'aller : xondes(t) = ct
.
6. Déterminer l'équation horaire de l'obus c'est à dite xobus(t).
xobus(t) = vt + d0.
7. Déterminer l'instant t1 auquel le top atteint l'obus en fonction de d0, c et v.
ct1 = vt1+d0 ; t1 = d0 / (c-v).
8. En déduire la position de I'obus lorsqu'il est atteint par le signal en fonction de d0, c et v.
x1= vt1 + d0 =d0 ( v / (c-v) +1 ) = d0 c / (c-v).
9. A quel instant, tR1,le top réfléchi par l'obus est-il reçu par le radar ?
tR1 =2t1= 2 x1 / c = 2
d0  / (c-v) .
A la date t = Te le radar émet un deuxième top.
10. Déterminer l'équation horaire de ce deuxième top c'est à dire xonde2(t).
à l'aller : xonde2(t) = c(t-Te)
.
11. Déterminer l'instant t2 auquel le top atteint l'obus en fonction de d0, c, v et Te.
xobus = xonde2 ; v t2 +d0 =
c(t2-Te).
t2 = (d0 +cTe) / (c-v).

12. En déduire la position de l'obus x2 lorsqu'il est atteint par le signal en fonction de d0, c, v et Te,
x2 = vt2 + d0 = v
(d0 +cTe) / (c-v) + d0 =c / (c-v) (d0 +vTe).
13. A quel instant le top réfléchi par I'obus tR2 est-il reçu par le radar ?
tR2 = x2 / c +t2 =
(d0 +vTe) / (c-v) + (d0 +cTe) / (c-v) =(2d0 +(c+v) Te) / (c-v).
14. Déterminer I'écart temporel tR2-tR1.
tR2-tR1.=(2d0 +(c+v) Te) / (c-v) -2d0  / (c-v) =(c+v) Te / (c-v)
15. En déduire la fréquence du signal reçu par le radar fR.
fR =1 /(
tR2-tR1) =  (c-v) / (c+v) fe.
16. Montrer alors que la différence de fréquences entre la fréquence émise et la fréquence reçue a pour expression
fR-fe = -2v fe / (c+v).
fR-fe =  (c-v) / (c+v) fe.-fe = -2v fe / (c+v).
La céléritê de propagation de l'onde électromagnétique, c, est très supérieure à la vitesse de l'obus en sortie du canon.
17. Montrer que la diffêrence de fréquences peu s'écrire fR-fe ~-2v fe / c.
c+ v ~ c ;
fR-fe ~-2v fe / c.
Application numérique :
La différence de fréquences mesurée est 56, 133 kHz.
18. Calculer la vitesse de sortie de l'obus.
v = 56133 x 3,00 108 / (2x10,525 106) ~800 m / s.
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