Détection d'exoplanètes par la méthode des vitesses radiales.

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La vitesse radiale est la vitesse d’un objet mesurée dans la direction de la ligne de visée d’un observateur fixe depuis son point d’observation. Il s’agit donc de la projection de la vitesse de l’objet sur la ligne de visée orientée dans le sens étoile → observateur.
On note vr la vitesse radiale de la planète et Vr la vitesse radiale de l’étoile.
Pour simplifier, on suppose que l’observateur est fixe dans R, et se situe dans le plan de l’orbite à grande distance du système {étoile-planète}.

La courbe ci-dessous présente les mesures expérimentales de la vitesse radiale de l’étoile 51 Pegasi au cours du temps. Ces résultats peuvent en très bonne approximation être modélisés par une loi sinusoïdale de la forme suivante :
Vr = A × cos(2pt / T ) (5). La période T vaut ici T = 4, 23 jours.


 Justifier, à l’aide de schémas, l’égalité des périodes de révolution des deux astres autour de leur centre de masse.


Un système mécaniquement isolé est constitué d'une planète assimilée à un point matériel P de masse mP en orbite autour d'une étoile assimilée à un point matériel E de masse mE. Un observateur, situé au point O d'un référentiel R0 supposé galiléen, étudie le mouvement dans R0 de la planète autour de son étoile.

35.
Exprimer en fonction de G, mP, mE et .
La seconde loi de Newton conduit à :
36. On note G le centre de masse du système {planète - étoile }. Définir le référentiel de centre de masse R* et montrer qu'il est galiléen.
Le référentiel R* est défini par :
Les trois axes sont identiques à ceux du référentiel R0. Les axes pointent vers des étoiles fixes.
L'origine est le barycentre des masses mE et mP.
Le système {étoile - planète } est isolé. Il n'est soumis à aucune force.
La seconde loi de Newton appliquée au point G donne :

Dans R0, le mouvement de G est rectiligne uniforme. R* est galiléen.

37. Dans le référentiel R*, la position de l'étoile est repérée par et la position de la planète est repérée par . Montrer que : mE r*E = mP r*P.

On pose r*E = GE et r*P = GP.
D'après la définition du centre de masse G :
Soit
mE r*E = mP r*P.
38. Montrer que le mouvement relatif de P par rapport à E dans R0 s'identifie au mouvement dans R* d'un point matériel fictif M de masse µ= mE mP / (mE + mP) soumis à la force gravitationnelle . Représenter sur un schéma les positions de E, P, G et M.

39. Décrire le mouvement de l'étoile dans R*.
Dans le référentiel R0, la planète décrit une orbite circulaire autour de l'étoile.
Dans le référentiel R*, M décrit une orbite circulaire autour de G.
Donc dans R*, l'étoile décrit une orbite circulaire autour de G.
40. La planète possède une orbite circulaire autour de l'étoile. Montrer que sa période orbitale est :
T = 2 p[ r3 / (G(mE + mP))]½.
Le mouvement de P autour de E s'identifie au mouvement de M autour de G.
Dans R* :
41. Commenter le résultat lorsque l'étoile est beaucoup plus massive que la planète.
mE >> mP, T =
2 p[ r3 / (GmE)]½. ; troisième loi de Kepler.

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Détection de la première planète extrasolaire par la méthode des vitesses radiales.
On considère à nouveau le système { étoile - planète } décrit ci-dessus. l'étoile est en orbite circulaire de période T autour du centre de masse G du système et possède une vitesse vE dans le référentiel du centre de masse R*. R0 est le référentiel géocentrique supposé galiléen, et O la position du centre de la terre. Un observateur situé en un point T à la surface de la terre étudie la lumière de l'étoile. On note vE / T la vitesse de l'étoile par rapport à l'observateur terrestre.

Une fréquence du spectre de l'étoile de valeur fE dans le référentiel de l'étoile, est perçue avec la valeur fR à la surface de la terre.
42. La vitesse radiale de l'étoile, notée vR est la composante selon ux de vE. Montrer que vR(t) est de la forme : vR(t) = V0 cos (F(t)),
avec V0 = vE sin(i) et F(t) = wt + F0.

43. Dans les spectres de la lumière de l'étoile obtenus au cours du temps, quelle information est à l'origine de la détermination de vr(t) ?
Le décalage spectrale des raies d'absorption permet de déterminer la vitesse radiale.
La planète 51 Peg b orbite autour de l'étoile 51 Peg et se situe à environ 50,9 années-lumière de la terre.
44. Le graphe expérimental suivant a été obtenu suite à diverse corrections. Citer quelques corrections à effectuer.
Figure 19.
Il faut prendre en compte de la rotation de la terre sur elle même  et sa rotation autour du soleil.
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45. Quelle est la nature du mouvement de l'étoile 51 Peg autour du centre de masse du système {étoile - planète } ? En déduire une relation entre V0, T, r*E et sin i.
Réponse à la question 39 : L'étoile 51 Peg décrit un cercle autour du centre de masse du système avec la vitesse v*E.
2 p r*E = v*E T
avec V0 = v*E sin(i).
46. Déterminer le rayon de l'orbite de la planète 51 Peg b autour de l'étoile puis la "masse minimale " mP sin i de cette planète. On pourra supposé mE >> mP.
Réponse à la question 41 :
T = 2 p[ r3 / (GmE)]½;
r = (T2GmE / (4p2))1/3 = [ (4,23 x24 x3600)2x6,67 10-11 x1,06 x1,99 1030 / (4 x3,142)]1/3 ~7,81 109 m.
Masse minimale .
Réponse à la question 37 : mP r*P = mE r*E ;
mP r = mE r*E car mE >> mP.
réponse à la question 45 : 2 p r*E = V0 T / sin i ;
2 p  mP r*P / mE  = V0 T / sin i ; mP sin i = V0 T mE / (2 p r).
mP sin i =57,3 x4,23 x24 x3600 x1,06 x1,99 1030 / (2 x3,14 x7,81 109) = 9,0 1026 kg.
47. L'hypothèse mE >> mP est-elle justifiée si sin i ~ 1 ?
Dans cette hypothèse mE / mP =
2 p r / ( V0 T) = 2 x3,14 x7,81 109 / (57,3 x4,23 x24 x3600)  ~ 2300.
L'hypothèse est justifiée.

48. Pourquoi dit-on que la planète 51 Peg b est un "Jupiter chaud" ?
La masse de cette planète est environ la moitié de la masse de Jupiter.
De plus elle est plus proche de son étoile que Jupiter ne l'est du soleil.

 


Etude du système planétaire HD134987.
Au début du XXIème siécle, de nombreuses exoplanètes ont été détectées par la méthode des vitesses radiales. La planète HD134987b  orbitant  autour de l'étoile HD134987 a été détectée. Cependant l'observation prolongée d'étoiles bien connues et l'amélioration des techniques ont permis d'affiner les observations.

51. Montrer que plusieurs planètes orbitent autour de l'étoile HD134987. Estimer les périodes orbitales. Calculer le rayon orbital et la masse minimale de celle qui est la plus proche de l'étoile.
La figure 20 montre une double périodicité dans les variations de la vitesse radiale de l'étoile.  Ces deux périodicités sont liées à la présence de deux planètes orbitant autour de l'étoile.
On détermine graphiquement  :
T1 = (2010-1996) / 20 = 0,7 an ; vr1 =50 m /s.
T2 = 18 T1 = 18 x0,7 = 12,6 ans ; vr2 = 10 m / s
r1 = (T12GmE / (4p2))1/3 = [ (0,7 x24 x3600 x365)2x6,67 10-11 x1,07 x1,99 1030 / (4 x3,142)]1/3 ~1,17 1011 m.
r2 = (T22GmE / (4p2))1/3 = [ (12,6 x24 x3600 x365)2x6,67 10-11 x1,07 x1,99 1030 / (4 x3,142)]1/3 ~8,06 1011 m.
mP1 = Vr1 T mE / (2 p r)=50 x0,7 x365 x24 x3600 x1,07 x1,99 1030 / (2 x3,14 x1,17 1011) = 3,2 1027 kg.



  

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