Mathématiques,  Groupe C Bts 2019.

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Exercice 1. 10 points.
Partie A : modélisation.
On s’intéresse à la chute d’un parachutiste, avant l’ouverture du parachute.
On admet que la vitesse V du parachutiste pendant la chute peut être modélisée par une fonction solution de l’équation différentielle :
my′(t )+ky(t ) =mg
où m est la masse totale du parachutiste et de son parachute, k est un coefficient dépendant de la résistance de l’air, g est le coefficient de l’accélération de la pesanteur et t représente le temps.
V est exprimée en m.s−1, m est exprimée en kilogramme et t est exprimé en seconde.
Dans la suite du problème, on considère que m = 80 kg, k = 25 unités S. I. et g = 10m.s−2.
Au début de la chute, t = 0 s et V (0) = 0 ms−1.
1. Montrer que la fonction V est solution de l’équation différentielle (E) : y′ +0,3125y = 10.
80 y' +25 y =80 x10 = 800 ;
y' +25 /80 = 800 /80 ; y' +0,3125 y = 10.
2. Résoudre l’équation différentielle : (E0) : y′+0,3125y = 0.
V = A e-0,3125t avec A une constante.
3. Déterminer une fonction constante solution de (E).
V = 10 /0,3125 = 32.
4. En déduire les solutions générales de (E).
V = 32 + A
e-0,3125t.
 Déterminer une expression de la vitesse V (t ) du parachutiste à l’instant t .
V(0) = 0 ; 0 = 32 +A ; A = -32 ; V(t) = 32 ( 1-
e-0,3125t).

Partie B : étude de la chute.
On admet que la vitesse du parachutiste est modélisée par la fonction V de la variable t définie sur [0 ; +∞[ par :
V(t) = 32 ( 1-e-0,3125t).
On donne ci-dessous la représentation graphique  de cette fonction V dans un repère orthogonal.

1. a. Estimer une valeur arrondie de l’instant t0 à partir duquel la vitesse dépasse 20m.s−1.
b. Retrouver par le calcul la valeur exacte de t0.
32 ( 1-e-0,3125t) > 20 ; 1-e-0,3125t) > 20 /32 ; 1-e-0,3125t > 0,625.
e-0,3125t < 1-0,625 ; e-0,3125t < 0,375 ; -0,3125t0 > ln(0,375) ; t0 > 3,14 s.
Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant que l’on admet et qui pourra être exploité dans les questions suivantes.
La limite de V(t) en plus l'infini est égale à 32.
2. a. Donner l’expression V ′(t ) de la dérivée de la vitesse.
V'(t) = 32 x0,3125
e-0,3125t =10e-0,3125t.
b. Étudier le sens de variations de V sur [0 ; +∞[.
V'(t) est strictement positive ; V(t) est strictement croissante sur
[0 ; +∞[.
3. Le parachutiste peut-il atteindre une vitesse de 130 km.h−1 ?
130 / 3,6 = 36,1 m /s, valeur supérieure à la vitesse limite 32 m /s.
Il ne peut pas atteindre cette vitesse.
4. Calculer la vitesse moyenne du parachutiste lors des deux premières secondes de chute. On pourra arrondir à l’unité.

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Exercice 2. 10 points..
Une fonderie fabrique en grande quantité des poutrelles métalliques de type IPE 120. On donne ci-dessous le schéma de coupe
d’une poutrelle de ce type.

Les dimensions, en millimètre, d’une poutrelle de ce type sont :
• hauteur de l’âme : 120 mm
• largeur de la semelle : 64 mm
• épaisseur de l’âme : 4,4mm
• épaisseur de la semelle : 6,3mm
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A : dimensions externes.
Lors d’un contrôle de qualité on constate que :
• la hauteur de l’âme est conforme pour 98% des poutrelles ;
• lorsque la hauteur de l’âme est conforme, la largeur de la semelle est également conforme dans 99% des cas.
On choisit une poutrelle au hasard dans la production et on considère les évènements suivants :
H : « la hauteur de l’âme est conforme »
L : « la largeur de la semelle est conforme ».
1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. On dit que les dimensions externes d’une poutrelle sont conformes lorsque la hauteur de l’âme et la largeur de la semelle sont conformes. On note E cet évènement. Justifier que p(E)= 0,9702.
3. Sachant que la largeur de la semelle est conforme pour 98,5% des poutrelles, l’affirmation suivante est-elle exacte ? La réponse devra être justifiée par un calcul.
« 26% des poutrelles dont la hauteur d’âme est non conforme présentent également un défaut de largeur de la semelle. »

4. On prélève au hasard 20 poutrelles. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. On note N la variable aléatoire qui, à chaque lot de 20 poutrelles prélevées au hasard, associe le nombre de poutrelles dont les dimensions externes
sont conformes.
a. Déterminer en justifiant la loi de probabilité de la variable aléatoire N et préciser ses paramètres.
Les prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 20. 
Chaque tirage peut déboucher seulement sur 2 résultats  : la probabilité qu'une poutrelle soit conforme est constante p = 0,9702. La probabilité qu'une ppotrelle ne soit pas en conforme est q = 1-p = 0,0298.
La loi binomiale B(n=20, p = 0,9702) est valide
b. Calculer la probabilité qu’un lot de 20 poutrelles contienne au moins une poutrelle dont les dimensions externes sont non conformes. Arrondir le résulta! à 10−3.
Probabilité que les 20 poutrelles soient conformes : P(N=20) = 0,546.
Probabilité qu'il y ait au moins une poutrelle non conforme : 1-P(N=20)=1-0,546 =0,454.


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Partie B. Epaisseur de l'âme.
La variable aléatoire X qui, à chaque poutrelle associe l'épaisseur de l'âme ( en mm ) suit la loi normale d'espérance m = 4,4 et d'écart type s = 0,02.
l'épaisseur de l'âme est conforme si l'écart entre la valeur réelle et la valeur théorique (4,4 mm) est inférieure ou égal à 1 % de la valeur théorique.
Calculer la probabilité qu'une poutrelle prélevée au hasard, ait une épaisseur d'âme conforme.
L'épaisseur doit être comprise entre 4,4 x0,99 = 4,356 et 4,4 x1,01 =4,444.
P(X < 4,356) =0,0139.
P(X < 4,444) =0,9861.
P(4,356 < X < 4,356) =0,9861 -0,0139= 0,972.

Partie C. Contrôle de conformité.
Une scie débite de longues poutrelle en tronçons de longueur 2 m. L est la variable aléatoire, qui à chaque poutrelle débitée, associe sa longueur ( en mètre ). Si la scie est correctement réglée, L suit la loi normale d'espérance µ =2 et décart type s = 0,001.
Pour le vérifier, un technicien prélève un échantillon de 100 poutrelles et a obtenu une valeur moyenne égale à 1,9997 m.
Lmoy est la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 poutrelles, associe la longueur moyenne des poutrelles. Lmoy suit la loi normale d'espérance µ et d'écart type s0 = s / 10 quand la scie est bien réglée.
Le technicien construit un test bilatéral au seuil de 5 % pour tester l'hypothèse H0 " la longieur moyenne en mètre est m = 2".
1. Donner l'hypothèse alternative H1.
La longueur moyenne diffère de 2 m.
2. Déterminer l'intervalle I = [2-h ; 2+h], tel que, sous l'hypothèse H0, P(Lmoy appartient à I) = 0,95.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 5 % est [2-1,96 s0 ; 2 +1,96 s0] soit {1,9998 ; 2,0002 ].
3. Au seuil de décision de 5 %, la scie est-elle bien réglée ?
1,9997 n'appartient pas à cet intervalle. L'hypothèse H0 est rejetée. La scie n'est pas correctement réglée.
 


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