Accorder un diapason, bac S Métropole 2019.

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Un groupe de quatre élèves dispose de quatre diapasons en aluminium ayant des branches de même largeur d = 7 mm et de longueurs L différentes. En modifiant la largeur des branches ou leur longueur, il est possible d’ajuster la fréquence du son émis par le diapason.
Le but de cet exercice est de comprendre comment on peut modifier ces quatre diapasons afin qu’ils émettent tous un son de fréquence f = 440 Hz, c'est-à-dire un La3.
Chaque élève a enregistré le son émis par les quatre diapasons (numérotés de 1 à 4) à l’aide d’un microphone relié à un ordinateur. Le signal obtenu a permis de déterminer
la fréquence du son émis par chacun des diapasons.
Le tableau 1 ci-dessous regroupe les résultats obtenus et fait le lien entre la fréquence f du son émis et la longueur L des branches du diapason.
Numéro du diapason
1
2
3

Fréquence du son émis ( Hz)
485
384
320
256
Longueur des branches (m)
0,108
0,121
0,133
0,147
1/L2 ( m-2)
85,7
68,3
56,5
46,3
En utilisant un modèle théorique, on peut établir qu’un diapason en aluminium dont les branches ont une largeur d et une longueur L émet un son de fréquence f telle que :
f = 0,16 [EA / rA]½ d / L2 (1).
où : - EA (en kg·m-1·s-2) est une constante caractéristique de l’aluminium ;
- ρA (en kg·m-3) est la masse volumique de l’aluminium ;
- f, d et L sont exprimées dans les unités de base du Système International.
Lorsqu’il est tenu à la main, le son produit par le diapason est difficilement audible. Pour le rendre pur et l’amplifier, Albert Marloye eut l’idée, en 1839, de poser la base du diapason sur une caisse de résonance. Il s’agit d’une boîte en bois ouverte à l’une de ses extrémités. Dans le cadre d’un modèle simplifié, une onde sonore sinusoïdale de longueur d’onde λ est amplifiée par la caisse à condition que la profondeur D de la cavité interne soit un multiple entier impair de λ/4 (exemples : λ/4 ; 3λ/4 ;
5λ/4 ; …).
La vitesse du son dans l’air dépend de la température selon la courbe ci-dessous.





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  Questions préliminaires.
1. Montrer, par une analyse dimensionnelle, que la formule (1) est homogène et qu’elle est compatible avec les mesures du tableau 1.
EA / rA s'exprime en m2 s-2 ; [EA / rA]½ s'exprime en m s-1 ;
d / L2 s'exprime en m-1 ; [EA / rA]½ d / L2 s'exprime en s-1 ;
de plus une fréquence s'exprime en s-1.
0,16 [EA / rA]½  est constant dans cette étude.
f est donc proportionnel à d /L2 ( mais aussi à 1 /L2, d étant constant) ainsi que le confirme le graphe suivant :

2. Déterminer la longueur d’onde d’un son de fréquence 440 Hz se propageant dans l’air à 25 °C.
l = v / f =346 / 440 ~ 0,786 m = 78,6 cm.
Problème.
Dans un atelier disposant d’outils de précision, on peut couper les branches d’un diapason en aluminium à la longueur L désirée ou diminuer la largeur d des branches. On peut également y fabriquer des caisses de résonance en bois.
On dispose des quatre diapasons numérotés de 1 à 4. Indiquer la ou les instruction(s) à donner à l’atelier pour que chacun des quatre diapasons émette un son de fréquence f = 440 Hz (La3) amplifié de façon optimale par une caisse de résonance en bois. Le dispositif sera utilisé dans une salle à 25°C.
La profondeur D de la cavité interne soit un multiple entier impair de λ/4 (exemples : λ/4 =19,6 cm ; 3λ/4 =59 cm, trop encombrant )
Diapason 1 : 1 /L2 = 0,173 x440 +1,6 = 77,72 ; L = 0,113 m =11,3 cm. Impossible de rallonger les branches.
Il faut diminuer la largeur d :
1 /L2 = 0,173 f +1,6 ; on multiplie chaque membre par d = 7 10-3.
d /L2 = 7 10-3 / L2 = 2,211 10-3 f +1,12 10-2.
d' /L2 = 1,211 10-3 x 440 +1,12 10-2 =0,544 ;
d' = 0,544 x 0,1082 =6,35 10-3 m = 6,35 mm.
Diapason 2 : on racourcit les branches de 12,1-11,3 =0,8 cm. La largeur reste inchangée.
Diapason 3 : on racourcit les branches de 13,3-11,3 =2 cm. La largeur reste inchangée.
Diapason 4 : on racourcit les branches de 14,7-11,3 =3,4 cm. La largeur reste inchangée.


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