Nombres complexes, bac S 2018.

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  Métropole.
On pose z0 = 8 et pour tout entier naturel n : zn+1 = (3 -i3½) / 4 zn.
On note An le point du plan d'affixe zn.
1.a. Vérifier que : z=
(3 -i3½) / 4 = 3½ / 2 exp(-ip/6).

b. En déduire l'écriture des bombres complexes z1, z2 et z3 sous forme exponentielle et vérifier que z3 est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
z1 =4 x
3½ exp(-ip/6).
z2 =
3½ / 2 exp(-ip/6).z1=6 exp(-ip/3)
z3 = 3½ / 2 exp(-ip/6).z2=3 x 3½ exp(-ip/2).
c. Représenter graphiquement les points A0, A1, A2 et A3.

2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , zn = 8 (3½/2)n exp(-inp/6).
Initialisation : la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n.

Conclusion : la prorpiété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel.
2.b. On pose un = |zn|. Déterminer la nature et la limite de cette suite.
|zn| = 8 (3½ / 2)n = z0 (3½ / 2)n ; suite géométrique de premier  terme 8 et de raison 3½ / 2.
0 <
3½ / 2 < 1, donc (3½ / 2)n tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
un tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
3.a. Démontrer que pour tout entier naturel k : (zk+1-zk) / zk+1 = -i / 3½.
En déduire que AkAk+1=OAk+1 / 3½.

b. Pour tout entier naturel n , on appelle ln la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points A0, A1, A2, ...An. Démontrer que la suite (ln) est convergente et calculer sa limite.
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Métropole septembre.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On prendra pour unité graphique le centimètre.
1. Résoudre dans C l’équation
(z2−2z +4)(z2+4)=0.
z2+4 = 0 ; z2 = -4 = 4 i2 ; z = ±2i.
z2−2z +4= 0 ; D = (-2)2 -4 x4 = -12 = 12 i2 = (±2 *3½i)2.
Solutions :(2 +
2 *3½i) / 2 = 1 +3½i et 1-3½i.
2. On considère les points A et B d’affixes respectives zA = 1+i3½ et zB = 2i.
a. Écrire zA et zB sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.

|zA| =(1+3)½ = 2 ; zA /|zA| =0,5(1+i3½ ) =cos (p/3)+ isin (p/3) ; zA = 2 eip/3.
zB =
2 eip/2.
OA = OB = 2.
Les points A et B sont sur un cercle de centre O et de rayon R = 2
b. Faire une figure et placer les points A et B.
c. Déterminer une mesure de l’angle (AOB).

3. On note F le point d’affixe zF = zA +zB.
a. Placer le point F sur la figure précédente.Montrer que OAFB est un losange.
zF = zA +zB =1 + i(2+3½).
AF = [02+22 ]½ =2 = OA = OB.
BF = [12+(3½)2 ]½ =2 = OA = OB.
Les quatre cotés du quadrilatère OAFB sont égaux.
De plus zA-zO =
1+i3½ et zF-zB = 1+i3½  ; zA-zO =zF-zB, le quadrilatère est un parallélogramme ayant deux cotés consécutifs égaux, c'est donc un losange..
b. En déduire une mesure des angles a et ß.
Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et axes de symétrie de la figure.
a = p /12 et ß =
p /3 + p /12 =5 p /12.
c. Calculer le module de zF et en déduire l’écriture de zF sous forme trigonométrique.
zF =1 + i(2+3½) ; | zF | =[ 12 + (2+3½)2]½=2(2+3½)½.
zF =2(2+3½)½( cos(5 p /12) + i sin(5 p /12)).
d. En déduire la valeur exacte de cos(5 p /12).
2(2+3½)½( cos(5 p /12) + i sin(5 p /12)) = 1 + i(2+3½).
On identifie les parties réelles :

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4. Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent :
Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.
Ces résultats ne sont pas contradictoires.

Liban.
1. Donner les formes exponentielle et trigonométriques des nombres complexes 1+i et 1-i.
Module de ces nombres complexes(1+1)½ = 2½.
(1+i) / |1+i| = 1 / 2½ + i /2½ = cos (p/4) + i sin (p/4).
1+i = 2½
( cos (p/4) + i sin (p/4)) = 2½exp(ip/4).

(1-i) / |1-i| = 1 / 2½ - i /2½ = cos (-p/4) + i sin (-p/4).
1-i = 2½
( cos (-p/4) + i sin (-p/4)) = 2½exp(-ip/4).
2. Pour tout entier naturel n, on pose Sn = (1+i)n +(1-i)n.
a. Déterminer la forme trigonométrique de Sn.
Sn = 20,5n [
exp(i n p/4)+exp(-i n p/4)]
Or
exp(i n p/4)+exp(-i n p/4) = 2 cos(n p/4).
Sn = 2 x 20,5n cos(n p/4).
b. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.
- Pour tout entier naturel n, le nombre complexes Sn est  un réel. Vrai.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n p / 4
0
p/4
p/2 3p/4 p 5p/4 3p/2 7p/4 2p
cos(n p / 4)
1
2
0
-2 -1
-2 0
2 1
Si n =4 k +2 avec k entier naturel,  Sn =0.
Si n = 8 k ou n= 1 +8k ou n=7+8k,
Sn= 2 x 20,5n cos(n p/4) ( cos 0 + i sin 0) est un réel strictement positif.
Si n = 3+8 k ou n= 4 +8k ou n=5+8k, Sn= 2 x 20,5n cos(n p/4) ( cos p + i sin p) est un réel strictement négatif.

- Il existe une infinité d'entiers naturels tels qu Sn = 0. Vrai.
Si n =4 k +2 avec k entier naturel,  Sn =0.
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Asie.
Dans cet exercice, x et y sont des nombres réels supérieurs à 1.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on considère les points A, B et C d’affixes respectives
zA = 1+i, zB = x +i et zC = y +i.


1. Démontrer que si OC =OA×OB, alors y2 = 2x2 +1.
OC = (y2 +12)½ ;
OA = (12 +12)½ =2½ ; OB = (x2 +12)½ ;
OA x OB =
2½  (x2 +12)½  = (2x2 +1)½ ;
(y2 +12)½  = (2x2 +2)½ soit  y2 +1 =2x2 +1 ; y2 = 2x2 +1.
2. Reproduire sur la copie et compléter l’algorithme ci-après pour qu’il affiche tous les couples (x, y) tels que :
y2 = 2x2 +1.
x et y sont des nombres entiers
1< x <10 et 1< y <10
Pour x allant de 1 à 10 faire
Pour y allant de 1 à 10 faire
Si
y2 = 2x2 +1
Afficher x et y
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
Lorsque l’on exécute cet algorithme, il affiche la valeur 2 pour la variable x et la valeur 3 pour la variable y.
3. Étude d’un cas particulier : dans cette question seulement, on prend x = 2 et y = 3.
a. Donner le module et un argument de zA.
|zA|=(12+12)½ = 2½.
zA /
|zA|=1 / 2½ + i / 2½ = cos (p/4) + i sin (p/4).
b. Montrer que OC =OA×OB.
y2 =9 ;  2x2 +1 =8+1 = 9 ; donc y2 = 2x2 +1 ; par suite OC =OA×OB.
c. Montrer que zBzC = 5zA et en déduire la relation suivante.
zBzC =(2+i)(3+i) = 6+i2+5i =5(1+i) = 5 zA.

4. On revient au cas général, et on cherche s’il existe d’autres valeurs des réels x et y telles que les points A, B et C vérifient les deux conditions données ci-dessus.
a. Démontrer que arg·[(x +i)(y +i) / (1+i) ]=0 mod 2p.
En déduire que sous cette condition : x + y −xy +1 = 0.
arg·[(x +i)(y +i) / (1+i) ] = arg(zB) +arg(zC) -arg(zA).
Or
arg(zB) +arg(zC) =arg(zA).
Donc
arg·[(x +i)(y +i) / (1+i) ]=0 mod 2p.
(x +i)(y +i) / (1+i) =[xy +i2+i(x+y)] / (1+i)
 [xy-1+i(x+y)](1-i) / 2 = [xy-1+x+y +i(x+y-xy+1)] / 2.
Or
arg·[(x +i)(y +i) / (1+i) ]=0, donc x+y-xy+1 = 0.
b. Démontrer que si les deux conditions sont vérifiées et que de plus x diffère de1, alors :
y =(2x2+1)½ et y = (x+1) / (x-1).
D'une part : y2 = 2x2 +1 soit y =(2x2+1)½ ;
D'autre part : x+y-xy+1 = 0 ; y(1-x) +x+1) = 0 ; y= (x+1) / (x-1).
5. On définit les fonctions f et g sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :
f (x) =
(2x2+1)½ et g (x)= (x+1) / (x-1).
Déterminer le nombre de solutions du problème initial.
On pourra utiliser la fonction h définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par h(x) = f (x)− g (x) et s’appuyer sur la copie d’écran d’un logiciel de calcul formel donnée ci-dessous.

Sur l’intervalle ]1 ; +∞[ :
la dérivée de f(x) est positive, f(x) est strictement croissante ;
la dérivée de g(x) est négative, la fonction g(x) est strictement décroissante.

Le problème a une seule solution.

 

Nlle Calédonie.
On définit la suite de nombres complexes (zn) de la manière suivante : z0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
zn+1 =zn / 3 +2i / 3.
On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct.
Pour tout entier naturel n, on note An le point du plan d’affixe zn.
Pour tout entier naturel n, on pose un = zn − i et on note Bn le point d’affixe un.
On note C le point d’affixe i .
1. Exprimer un+1 en fonction de un, pour tout entier naturel n.
un+1 = zn+1 -i =
zn / 3 +2i / 3-i = zn/3 -i / 3 = (zn-i) / 3 = un / 3.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
un = (1 /3)n (1− i ).
u0=1-i ; un+1 = un / 3 ;
la suite (un) est géométrique de raison 1 / 3 et de premier terme 1-i.
Par suite un = (1-i)(1 / 3)n.
3. a. Pour tout entier naturel n, calculer, en fonction de n, le module de un.
|1-i| = (12 +(-1)2)½ = 2 ½.
Module de un :
2 ½(1 / 3)n.
b. Démontrer que la limite en plus l'infini de |zn-i| est égale à zéro.
-1 < 1 / 3 < +1, par suite (1/3)n tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
c. Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat ?

4. a. Soit n un entier naturel. déterminer un argument de un.
un / |un|=  (1− i ) / 2½ = cos ( -p /4) + i sin (-p/4) = exp(-ip/4).
-p/4 est un argument de un.
b. Démontrer que, lorsque n décrit l’ensemble des entiers naturels, les points Bn sont alignés.
un =
2 ½(1 / 3)n exp(-ip/4)  : Bn( 2 ½(1 / 3)n  ; - 2 ½(1 / 3)n )
un+1 = 2 ½(1 / 3)n+1 exp(-ip/4). Bn+1( 2 ½(1 / 3)n+1  ; - 2 ½(1 / 3)n+1 ).


c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point An appartient à la droite d’équation réduite : y = −x +1.
A0( 1 ; 0) appartient à cette droite d'équation y = ax+b d'où b = -a
Equation de cette droite y = ax -a avec a réel.
zn = un + i ;
un = (1-i)(1 / 3)n ; zn = 1 / 3n +i(1-1/3n).
zn+1 = 1 / 3n+1 +i(1-1/3n+1).

Le coefficient directeur de la droite cherchée est a = -1.
Par suite l'équation de cette droite est y = -x +1.

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