Physique, concours Orthoptie Paris Descartes 2016.

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Exercice IV. Chute d'une bille dans le glycérol.
Mesure de la viscosité de la glycérine.

La viscosité désigne la capacité d'un fluide à s'écouler. Elle dépend fortement de la température.

Un long tube en verre, fermé aux deux extrémités, contient du glycérol de viscosité h et une bille en acier.

Le tube est retourné à l'instant t=0, la bille se trouve alors en haut du tube, sans vitesse initiale puis elle tombe verticalement dans le glycérol.

La durée de chute Dt' correspond à une distance de chute h connue et mesurée à l'aide de deux capteurs reliés à un chronomètre électronique. Les deux capteurs sont repérés par les positions R1 et R2.

g= 9,81 m s-2 ; h= 40,0 cm.

Deux traits horizontaux ont été tracés en D et F.

Masse volumique de l'acier rS=7,80 103 kg m-3.

Rayon de la bille : R= 5,00 10-3 m ; volume de la bille V.

Masse volumique du glycérol rgly=1,26 103 kg m-3.

La viscosité h s'exprime en Pa.s

L'étude est effectuée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. La bille totalement immergée dans le liquide est lâchée en O sans vitesse initiale.

Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

Les forces.

Donner l'expression vectorielle du poids P en fonction de rS, V, g et j.

Valeur du poids : P= mg avec masse(kg) = volume (m3) * masse volumique ( kg m-3) ; m= VrS.

Donner l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède F en fonction de rgly, V, g et j.

Poids du volume de glycérol déplacé, verticale, vers le haut. 


L'intensité de la force de frottement, a pour expression f = khRv ; v est la valeur de la vitesse de chute de la bille, k = 6 p est une constante sans dimension.

Donner l'expression vectorielle de la force de frottement f.

 Verticale, vers le haut.

Représenter ces forces sur un schéma sans souci d'échelle.




Au cours de la chute, la bille atteint très rapidement sa vitesse limite, notée vlim. Lorsque la bille passe devant le trait D( repère R1) et au delà, sa vitesse est constante.

Quel est le mouvement de la bille entre les deux repères R1 et R2. Justifier.

La vitesse limite a une valeur constante ; de plus le mouvement est rectiligne.

 Le mouvement de la bille est rectiligne uniforme.

Ecrire la relation vectorielle entre les forces s'exerçant sur la bille lorsqu'elle se trouve entre les deux traits D et F. Justifier la réponse.

Le mouvement de la bille étant rectiligne uniforme, le principe d'inertie indique que la bille est pseudo-isolée ( la somme vectorielle des forces est nulle). 

(1)

A la suite d'une analyse dimensionnelle, donner l'unité de h.
h=f /( k R v)
M L-1 T-1

k est sans dimension ; R est une longueur : [R] =L ; vitesse v : longueur / temps [v]=L T-1. [R v]=L2 T-1.

force f équivalent à une masse * accélération équivalent à masse * longueur / temps2 : [f] =M L T-2.

Par suite [h]=M L T-2 / (L2 T-1) = M L-1 T-1 (ou M L-1 T-2 T : Pa s)

En déduire l'expression de la viscosité du glycérol h = 2R2g(rS-rgly)/ (9 vlim).

(1) donne : (rS-rgly)Vg = 6phRvlim ; h = (rS-rgly)Vg / ( 6pRvlim )

Or V= 4/3 p R3 ; V/( 6pR)= 2R2 /9 d'où : h = 2R2g(rS-rgly)/ (9 vlim).


Calculer la vlim si h = 0,400 m Dt' = 1,66 s à 20°C

vlim = h / Dt'
= 0,400 / 1,66 =
0,241 m/s
En déduire la valeur expérimentale de la viscosité h de la glycérine à 20 °C.

 

h = 2R2g(rS-rgly)/ (9 vlim)
= 2*(5 10-3)2*9,81 *(7,80-1,26) 103/(9*0,241)=
1,48 Pa s

La valeur théorique de la viscosité du glycérol à cette température est hth=1,49 SI.

En effectuant un calcul d'écart relatif, comparer la valeur expérimentale à la valeur théorique.

(valeur théorique - valeur expérimentale )*100 / moyenne des valeurs = (1,49-1,48)*100 / 1,485 =0,67 %.

A 0,67 % près les valeurs sont identiques.

Etude du mouvement de la chute de la bille.

A l'instant choisi comme origine des dates, la bille est abandonnée sans vitesse initiale au point O.

En utilisant la deuxième loi de Newton montrer que l'équation différentielle liant la vitesse de la bille et sa dérivée par rapport au temps est de la forme :

dv/dt + Av = B avec A= 34,4 s-1 et B= 8,23 m s-2.

Identifier les expressions des termes A et B dans cette équation.

  En déduire la valeur de la vitesse limite atteinte par la bille. Est-elle en accord avec la valeur trouvée expérimentalement ?

 dvlim/dt = 0 par suite A vlim=B
vlim = B/A
vlim =8,23 / 34,4 =
0,239 m/s
Il y a accord avec la valeur expérimentale 0,241 m/s.

A quelle grandeur physique le rapport 1/A correspond-il ? Même question pour B.

1/A s'exprime en seconde : 1/A représente la constante de temps du dispositif.

B a la dimenion d'une accélération : B est l'accélération initiale à t=0.





ExerciceV. Le saut de Félix Baumgartner.
Le dimanche 14 octobre 2012, Félix Baumgartner est entré dans l’histoire en s’élançant de la
stratosphère à plus de 39 000 m d’altitude. Félix Baumgartner a sauté depuis la nacelle d’un ballon
avec une vitesse initiale nulle. Au cours de la première phase de sa chute qui a duréquatre minutes et vingt secondes, il a atteint une vitesse de pointe de 1342 km.h-1, soit MACH 1,24 ! Dans une seconde phase, il a ouvert son parachute. Au total, son saut depuis la stratosphère a duré neuf minutes et trois secondes.
Avec ce saut, trois records du monde ont été battus :
- « la chute la plus rapide » : il a atteint une vitesse maximale de 1342 km.h-1 ;
- « le saut le plus haut » : 39 045 m (ancien record : 31 333 m) ;
- le plus haut voyage en ballon d’un homme : 39 045 m (ancien record : 34 668 m).
Dans cet exercice, on cherche à évaluer la pertinence d’un modèle de chute.
Description de l’atmosphère terrestre.
Zone de l'atmosphère
Troposphère
Stratosphère
Mésosphère
Thermosphère
Altitude ( km)
0 à 10
10 à 50
50 à 80
plus de 80
Masse volumique
moyenne de l'air
( kg m-3)
entre 1 et 0,1
entre 0,1 et 10-3
entre 10-3 et 10-5
moins de 10-5
La chute d'un objet est dite libre si l’objet n’est soumis qu’à l’action de la Terre, et si on peut
négliger l’action de l’air. Lorsque l’action de l’air n’est pas négligeable, l’effet de l’air est d’autant plus important que la vitesse de chute est grande.
 Masse de Félix Baumgartner et de son équipement : m = 120 kg ;
 constante de gravitation universelle G = 6,67 10-11 SI ;
masse de la terre MT =5,98 1024 kg ; rayon terrestre RT=6380 km.
Attraction gravitationnelle lors du saut.
1.1. Donner, en fonction de G, RT, H, m et MT, l’expression de la force d’attraction gravitationnelle
exercée par la Terre sur Félix Baumgartner lorsqu’il s’élance dans le vide à l’altitude H.
F = G MT m / (RT+H)2.
1.2. En assimilant le poids P à cette force d’attraction, déduire l’expression de l’intensité de la
pesanteur g. L’intensité de la pesanteur g reste-t-elle constante au cours de la chute ? Justifier
quantitativement.
G MT m / (RT+H)2 = mg ; g =G MT  / (RT+H)2 .
L'intensité de la pesanteur varie en fonction  de 1
/ (RT+H)2 .
Au sol g0 =
G MT  / RT2  ; g0/g = (1+H/RT)2  avec H /RT ~40 / 6380 ~6,3 10-3.
g0/g ~1+2H/RT ~1,013.
Erreur relative sur g ~0,013 ( 1,3 %).
Durant la chute, g reste pratiquement constant.

Étude de la première phase du saut de Félix Baumgartner avec le modèle de la chute libre.
Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, le repère choisi possède un axe Oy vertical.
Dans cette première phase, on admet que l’accélération de la pesanteur g est égale à 9,71 m.s-2.
2.1. Établir l’expression de l’accélération ay de Félix Baumgartner. De quel type de mouvement
s’agit-il ?
L'axe vertical est orienté vers le bas et l'origine est prise au départ du saut.
La chute étant libre a
y = g.
2.2. Établir l’équation horaire de son mouvement y = f(t).
La vitesse est une primitive de l'accélération et la vitesse initiale est nulle : v = gt.
La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est l'origine de l'axe : y = ½gt2.
2.3. En déduire la date t1 correspondant au record de vitesse de Félix Baumgartner.
1342 km/h = 1342 /3,6 m/s = 372,77 m/s.
t1 =v / g = 372,77 / 9,74 = 38,27 ~38,3 s.
2.4. Quelle distance Félix Baumgartner a-t-il parcouru lorsqu’il atteint cette vitesse maximale ?
Quelle est alors son altitude H1 ?
y(t1) = 0,5 *9,74 *38,272 ~7,13 km.
H1 = 39,0 -7,13 ~31,9 km.

Dans la stratosphère, le modèle choisi de la chute libre est-il pertinent ?
3.1. Proposer un argument qui justifie l’utilisation précédente du modèle de chute libre.
La masse volumique de l'air est comprise entr 0,1 et 10-3 kg m-3 dans la statosphère. Cette valeur est très inférieure à la masse volumique de F. Baumgartner et de son équipement. La poussée d'Archimède due à l'air est donc négligeable devant le poids.
Les forces de frottements sur les couches d'air sont faibles, l'atmosphère étant peu dense dans la stratosphère.
3.2. En réalité, la distance parcourue par Félix Baumgartner lorsqu’il atteint sa vitesse maximale est supérieure à celle calculée à la question 2.4. Proposer un autre argument qui permette d’invalider le modèle de la chute libre.

L'effet de l'air est d'autant plus important que la vitesse de chute est grande.
Analyse des transferts d’énergie lors de la première phase du saut.
Lors de la première phase de la chute, l’énergie mécanique se conserve-t-elle ? Argumenter votre réponse en identifiant les formes d’énergie mises en jeu et leurs variations.
L'effet de l'air n'étant pas négligeable, l'énergie mécanique diminue du travail des forces de frottement.
L'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle de pesanteur.
Au cours de la chute, l'énergie potentielle diminue ; elle est convertie en énergie cinétique  ( la vitesse croît )et en énergie thermique ( frottement sur les couches d'air).



Exercice VI. le muon, explorateur de volcans .
Les muons créés en haute atmosphère
Un muon créé à une hauteur de 20 km d'altitude doit mettre environ 67 μs pour arriver au sol.
1.1.1 Retrouver à l’aide d’un calcul l’estimation faite de la valeur du temps de parcours d’un muon créé à une altitude de 20 km pour arriver jusqu’au sol.
La vitesse des muons est proche de la vitesse de la lumière dans le vide.
Temps de parcours = 20 103 / (3,0 108) ~6,7 10-5 s = 67 µs.
Albert Einstein publie en 1905 une nouvelle théorie intitulée « la relativité restreinte » qui remet en cause la mécanique classique.
1.1.2 Énoncer le postulat d’Einstein relatif à la vitesse de la lumière.
La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens.
1.1.3 Expliquer sans calcul en quoi la détection d’un nombre important de muons au niveau de la surface terrestre constitue une preuve expérimentale de la « dilatation » des durées.
La durée de vie d'un muon au repos ou durée mesurée dans le référentiel muon  ( durée propre ) est de l'ordre de 2 µs. En 2 µs, un muon parcourt seulement environ 2 10-6 *3 108 ~ 6 102 m ~ 0,6 km. Or les muons sont produits à au moins 10 km de la surface de la terre et ils
 parviennent en grand nombre, à la surface de la terre. Ils parcourent donc une distance bien supérieure à 0,2 km. Vue de la terre, leur durée de vie moyenne, lorsqu'il sont en mouvement, se dilate.
1.2 Pourquoi peut-on dire que le muon, le proton et l’électron sont soumis à une force magnétique de même intensité lorsqu’ils pénètrent à la même vitesse dans un champ magnétique ?
Justifier pourquoi la différence de courbure alors observée permet d’affirmer que le muon a une masse intermédiaire entre celle du proton et celle de l’électron.
Proton, électron et muon possèdent, en valeur absolue, la même charge. La valeur de la force magnétique appliquée à une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique est
proportionnelle à la vitessse, à la valeur absolue de la charge et  au champ magnétique.
Le rayon de courbure de la trajectoire d'une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique est proportionnel à la masse de la particule.
Pour une vitesse donnée, pour un champ magétique donnée et pour une même charge ( en valeur absolue), le rayon de courbure de la trajectoire est d'autant plus grand que la masse de la particule est grande.
La trajectoire d'un muon étant plus incurvée ( rayon de courbure plus faible ) que celle du proton, la masse du muon est inférieure à celle d'un proton.
La trajectoire d'un muon étant moins incurvée que celle de l'électron, la masse du muon est supérieure à celle d'un électron.

Les muons au CERN
.
2.1 Justifier à l’aide d’un calcul l’affirmation : « Ces muons ont un temps de vie environ égal à 30 fois leur temps de vie au repos ».
Vitesse des muons v = 0,9994 c ; ß = v / c =0,9994 ; 1-ß2 ~1,2 10-3.
g = (1-ß2) =(
1,2 10-3) ~ 29.
Le temps de vie d'un muon, mesuré dans le référentiel terrestre, est environ 29 fois sa durée de vie propre.
Bien qu’un muon ne puisse survivre plus de 14 ou 15 tours selon la mécanique newtonienne, la plupart d’entre eux font plus de 400 tours.
2.2 Vérifier alors la cohérence entre les valeurs « 14 ou 15 tours » et « 400 tours » données.
On retrouve la valeur de g , rapport entre durée mesurée et durée propre : 400 / 14 ~29.
Les muons pour la tomographie d’un volcan.
La tomographie est une technique d’imagerie permettant de reconstruire le volume d’un objet à partir d’une série de mesures.
3.1 Expliquer pourquoi un muon ordinaire d’énergie moyenne de 4 GeV ne peut pas être utilisé pour radiographier la Soufrière.
Un muon perd en moyenne 2 MeV par centimètre de roche traversée.
Un muon d'énergie 4 GeV traverse donc : 4 103 / 2 = 2000  cm = 20 m de roche..
La radiographie muonique nécessite des muons traversant plusieurs centaines de mètres de roches, donc des muons d'énergie bien supérieure à 4 GeV.
Au niveau du sol, le flux moyen de muons est d’environ 1 muon par cm2 et par minute.
3.2. Déterminer l’ordre de grandeur de l’énergie apportée pendant une minute par le flux de muons ordinaires sur la surface de la Soufrière.
Comparer la valeur obtenue à l’ordre de grandeur d’une énergie de votre choix.

On considère que la surace grisée, proche de celle d'un disque de diamètre D, correspond à la surface de la Soufrière exposée au flux de muons.



Surface de la Soufrière, disque de diamètre D ~900 m : S = p D2/4 = 3,14 *9002/4 ~ 6,4 105 m2 =
6,4 109 cm2 .
Nombre de muons ordinaires frappant la surface par minute  : 6,4 109.
Energie correspondante :
6,4 109 *4 109 =2,6 1019 eV.
ou 2,6 1019 * 1,6 10-19~ 4 J min-1.
Une ampoule de puissance 40 W fonctionnant pendant une seconde consomme une énerge de 40 J.
3.3. Déterminer la valeur du rapport v/c où v est la vitesse d’un muon ordinaire d’énergie 4 GeV. En déduire pourquoi les muons utilisés pour la radiographie
volcanique sont qualifiés d’ « ultra-relativistes ».
Masse d'un muon : m = 105,66 MeV c-2 soit  
mc2=105,66 MeV.
Energie d'un muon en mouvement : E = g mc2.
g = 4 103 /
105,66 ~38.
1/g2=1-v2 /c2  ~7 10-4 ;
v2 /c2 = 1-1/g2= 1-7 10-4 ; v / c ~1,0.
v / c étant supérieur à 0,99, ces muons sont qualifiés d'"ultra-relativistes".



  

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