Mathématiques, bac Sti2d Stl Nlle Calédonie 2018.

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Exercice 1.5 points.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif ) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.
À leur mort, l’assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre.
On note f (t ) la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l’instant t après sa mort (t exprimé en milliers d’années).
Partie A :
On admet que f est une solution sur [0 ; +∞[ de l’équation différentielle :
y′ = −0,124y (E).
1. Résoudre l’équation différentielle (E).
y' +0,124 y =0 ; solution générale y = A e-0,124t avec A une constante.
2. Déterminer la solution f de (E) vérifiant la condition initiale f (0) = 15,3.
15,3 = A e0 = A ; f(t) =15,3 e-0,124t .

Partie B :
On admet que la fonction f est définie par f (t ) = 15,3e−0,124t sur [0 ; +∞[.
1. Déterminer les variations de f sur [0 ; +∞[.
f '(t) = -15,3 x0,124 e-0,124t = -1,8972 e-0,124t.
e-0,124t. est positif ; f '(t) est négative ; f(t) est strictement décroissante sur [0 ; +∞[.
2. Déterminer la limite de f au voisinage de l’infini.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
e-0,124t tend vers zéro quant t tend vers plus l'infini.
Au bout une durée très longue après la mort du végétal, le carbone 14 a entirement disparu.

Partie C :
On rappelle que la fonction f donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de t (en milliers d’années).
1. Des archéologues ont trouvé des fragments d’os présentant une concentration en carbone 14 égale à 7,27 unités.
Justifier que l’on peut estimer l’âge de ces fragments d’os à 6 000 ans.
7,27 =15,3 e-0,124t ; ln(7,27 / 15,3) = -0,124 t ; t = ln(15,3 / 7,27) / 0,124 ~6,0 milliers d'années.
2. Lorsque la concentration en carbone 14 d’un organisme devient inférieure à 0,3% de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l’aide du carbone 14. Déterminer l’âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
15,3 e-0,124t <15,3 x0,003  ; e-0,124t < 0,003 ; -0,124t < ln 0,003 ; t > -ln(0,003) / 0,124 ; t > 46,8 milliers d'années.

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Exercice 2. 5 points.
La société Héliocel fabrique des cellules photovoltaïques destinées à être assemblées pour former des
panneaux solaires qui seront ensuite installés sur le toit d’habitations pour produire de l’électricité.
Partie A :
On estime que 5% des cellules fabriquées par Héliocel présentent un défaut et sont donc inutilisables.
On prélève au hasard un lot de 80 cellules dans la production pour vérification. Le nombre de cellules produites est suffisamment important pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 80 cellules.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 80 cellules, associe le nombre de cellules inutilisables.
1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
n = 80 ; p = 0,05.
2. Quelle est la probabilité qu’un lot ne contienne aucune cellule inutilisable ?
P(X = 0) = 0,0165
3. Un panneau solaire est constitué de 75 cellules.
Quelle est la probabilité d’avoir assez de cellules sans défaut dans un seul lot pour pouvoir fabriquer un panneau ?
P(X < 5) =0,789.
Partie B :
Après amélioration sur sa chaîne de fabrication, la société annonce une proportion de 3% de cellules inutilisables.
Afin de vérifier cette annonce, le responsable qualité prélève de manière aléatoire un échantillon de 180 cellules et observe que 9 cellules sont inutilisables.
Cette observation remet-elle en cause l’annonce de la société ?
n = 180 > 30 ; np = 180 x0,05 = 9 > 5 ; n(1-p) = 180 x0,95 = 171 >5.
Les conditions sont réunies pour établir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
1,96(p(1-p) / n )½ = 1,96 (0;05 x0,95 / 180)½ = 0,032.
Intervalle de fluctuation [0,03 -0,032 ; 0,03 +0,032] soit [0 ; 0,062 ].
La fréquence 9 / 180 = 0,05 appartient à cet intervalle. L'annonce n'est pas remise en cause.
Partie C :
Une famille décide d’installer 15 de ces panneaux solaires sur le toit de sa maison pour produire de l’électricité.
La production électrique dépend de l’ensoleillement.
On appelle Y la variable aléatoire qui, à chaque journée, associe la production électrique (en kWh) fournie par ces 15 panneaux.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance μ = 9 et d’écart-type s = 3.
1. Quelle est la probabilité que la production journalière de l’installation de cette famille soit comprise entre 6 kWh et 12 kWh?
P(Y < 6) =0,15865 ; P(Y < 12) = 0,8413 ; P(6 < Y < 12) = 0,8413 -0,15865 = 0,681.
2. Parmi les trois fonctions de densité de probabilité représentées ci-dessous, laquelle peut être celle de la loi de Y ? Justifier.

La moyenne étant égale à 9, la courbe C3 est exclue.
L'écart type de la courbe C1 est faible, le pic étant très étroit.
L'écart type de la courbe C2 est assez important, le pic étant assez large. Cette courbe peut convenir.
Courbe 2 : P(µ-2s < X < µ+2s) = P(3 < X < 15) ~0,95.
3. La consommation moyenne de cette famille est 13 kWh/jour.
Quelle est la probabilité que la production journalière de son installation soit supérieure à sa consommation moyenne quotidienne ?
P(Y >13) = 1 -P(Y < 13) = 1-0,9088 ~0,0912.


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Exercice 3. 4 points.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Toute trace de recherche,même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = 3ln(x). Vrai.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est 3.
f '(x) = 3 / x ; f '(1) = 3 / 1 = 3.
2. On considère le nombre complexe z =5 *3½/2 -5i /2.
L’écriture exponentielle du conjugué de z est z =5ei 5p /6. Faux.
Module de z : |z| =5 / 2(3+1)½ =5
z / |z| =
3½/2 -i /2= cos (-p/6) + i sin ( -p/6).
z = 5 e-ip/6 ; conjugué de z :
5 eip/6.
3. La valeur moyenne de la fonction f(x) = sin(x-p/2) sur l’intervalle [0 ; p] est égale à 0. Vrai
sin(x-p/2) = - cos (x).
La courbe est symétrique par rapport au point de coordonnée ( p/2 ; 0).
4. La fonction définie pour tout réel x par f (x) = 3cos(5x) est solution de l’équation différentielle
y′′ +25y = 0. Vrai.

f '(x) = -3 x5 sin(5x) ; f ''(x) = -15 x5 cos(5x) = -75 cos(5x).
 -75 cos (5x) + 25 x3 cos(5x) = 0 est vérifiée pour tout x.


 

Exercice 4. 6 points.
1. Une commune de 2 000 habitants au 1er janvier 2018 voit sa population augmenter de 5% tous les ans.
Pour tout entier naturel n, on note hn le nombre d’habitants de l’année 2018+n : on a donc
h0 = 2000.
La suite (hn) est une suite géométrique. Exprimer hn en fonction de n.
hn = 2000 x1,05n.
La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d’accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de 16 000 Mbit/s au 1er janvier 2018 et à augmenter
ce débit de 2,9% par an.
Pour tout entier naturel n, on note dn le débit total dont la commune dispose l’année 2018+n.
On modélise ainsi le débit par la suite (dn). On a alors dn = 16000×1,029n .
2. On s’intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d’une connexion internet individuelle.
Pour tout entier naturel n on note un le débit par habitant pour l’année 2018+n et on admet que un =dn / hn..
a. Calculer u0 et u1.
u0 = 16000 / 2000 =8 ; u1 = 16000 x 1,029 / (2000 x1,05) =7,84.
b. Montrer pour tout entier naturel n on a un = 8×0,98n .
un = 16000 x1,029n / (2000 x1,05n) = 8 x(1,029 / 1,05)n =
8 x0,98n.
c. En déduire la nature de la suite (un) et ses caractéristiques.
C'est une suite géométrique de premier terme 8 et de raison 0,98.
d. Déterminer la limite de la (un).
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
-1 < 0,98 < 1, donc 0,98n tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
Au bout d'un temps suffisamment long, chaque habitant vera son débit tendre vers zéro.
3. Le marché passé avec le fournisseur d’accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour
la réalisation de son réseau..
a. On admet que la suite (un) est décroissante.
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il permette de déterminer dans combien d’années le débit sera considéré comme insuffisant.
U <--8
N <--0
Tant que U > 5
U <--U x0,98.
N <--N +1
Fin Tant que
Afficher N+1.
b. En quelle année le fournisseur d’accès sera-t-il dans l’obligation de changer sa technologie ?
8 x0,98n< 5 ; 0,98n < 5 /8 ; n ln(0,98) < ln(5 /8) ; N > ln(5/8) / ln(0,98) ; N >23 ,26 ; N > 24. ( année 2018 +24 soit 2042).



  

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