Mathématiques, fonction, probabilités, Bac S Métropole 2018

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Exercice 1.
On a représenté ci-dessous la courbe d'équation y = 0,5 (ex+e-x-2).
On définit la "largeur" et la "hauteur"  de l'arc de chaînette délimité par les points M et M".

Le but de cet exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point M' d'abscisse x strictement positive afin que la largeur de l'arc soit égale à sa hauteur.
1. Justifier que ce problème se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation (E) : ex+e-x-4x-2=0.
La hauteur  est égale à y =
0,5 (ex+e-x-2) et la largeur est égale à 2x.
 0,5 (ex+e-x-2) = 2x soit ex+e-x-4x-2=0.
2. On note f la fonction définie sur [0 ; +oo[ par f(x) = ex+e-x-4x-2.
2.a. Vérifier que pour tout x >0, f(x) = x(ex / x-4) +e-x-2.
f(x) = x ex / x - 4x +e-x-2 = ex-4x+e-x-2
2.b. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers l'infini.
Quand x tend vers plus l'infini :
 e-x tend vers zéro.
x(ex / x-4) tend vers plus l'infini.
Par somme de limite f(x) tend vers plus l'infini.
3.a. Calculer f '(x), fonction dérivée de f(x).
f '(x) = ex-e-x-4.
3.b. Montrer que f '(x) =0 équivaut à : (ex)2-4ex-1=0.
ex(ex-e-x-4) =0 ; (ex)2 -1 -4ex=0.
3.c. On pose X = ex. Montrer que f '((x) = 0 admet une unique solution réelle ln(2+5½).
X2 -4X-1 = 0 ; déterminant D = 16+4 = 20.
On ne retient que la solution positive car ex >0 : X = (4+20½) / 2 = 2 +5½ ; x = ln X = ln(2+5½).
4. On donne le tableau de signes de la fonction f '(x).

4.a. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

4.b. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution strictement positive notée a.
Sur [0 ; ln(2+ 5½)], f(x) est négative donc f(x) = 0 n'a pas de solution.
Sur [ ln(2+ 5½) ; +oo[, f(x) est continue est strictement croissante ; de plus la valeur zéro appartient à [f( ln(2+ 5½)) ; +oo[ donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une solution unique.
5. On considère l'algorithme suivant où les variables a, b et m sont réelles.
Tant que b-a >0,1 faire :
m <-- (a+b) / 2
                     Si em +e-m-4m-2 >0, alors
b <--m
   Sinon : a <-- m
Fin Si
Fin tant que.
a. Les valeurs initiales de a et b sont respectivement 2 et 3. Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algotithme ? Justifier en complétant le tableau suivant.
m
a
b
b-a
f(m)

2
3
1

2,5
2
2,5
0,5 > 0,1
~ 0,264 > 0
2,25
2
2,5
0,5 > 0,1
~ -1,4 < 0
2,375
2,25
2,5
0,75 > 0,1
~ -0,66 < 0
2,4375
2,375
2,5
0,125 > 1
~ -0,218 < 0
2,46875
2,4375
2,5
0,0625 < 0,1

On obtient un encadrement  de a : 2,4375 < a < 2,5.
6. La Gateway Arch a l'allure ci-contre
Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
La largeur de cet arc ( exprimée en mètre )  est égale au double de la solution strictement positive de l'équation :
(E') :et/39 +e-t / 39 -4t /39 -2 = 0.
Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.
t = 39a ; 2t = 78 a.
78 x2,4375  < hauteur < 2,5 x78 ; 190 < hauteur < 195.


 


Exercice 2. Partie A.
Une étude est menée dans la population d'une ville à l'issue de la période hivernale :
40 % de la population a été vaccinée contre la grippe.
8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe.
20 % de la population a contracté la grippe.
On choisit au hasard une personne dans la population de la ville et on considère les évènements :
V : "personne vaccinée contre la grippe".
G " la personne a contracté la grippe".
1.a Donner la probabilité de l'évènement G.
P(G) = 0,20.
1.b.Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :


2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée. 0,032.
3. La personne choisie n'est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu'elle ait contracté la grippe est égale à 0,28.
Partie B.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les n interrogées.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par  X ?
Les n expériences sont identiques, indépendantes et aléatoires. deux issues sont possibles ( être vacciné avec une probabilité de 0,4 ou ne pas être vacciné ). X suit une loi binomiale B( n ; 0,4).
2 Dans cette question, on suppose n = 40.
a. Déterminer la probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées.
Loi B (40 ; 0,4) ; B(X = 15 ) = 0,123.
b. Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soient vaccinées.
Loi B (40 ; 0,4) ; B(X > 20 ) =1-P(X <20) = 1 -P(X < 19) =  1-0,870 =0,130.
3. On interroge un échantillon de 3750 habitants de la ville. On note Z la variable aléatoire définie par Z = (X -1500) / 30.

La loi de probabilité de Z peut être approchée par la loi normale centrée réduite.
Déterminer la probabilité qu'il y ait entre 1450 et 1550 habitants vaccinés dans cet échantillon.

P(1450 < X < 1550) = 0,904.





.

P(-5 / 3 < Z < 5 / 3) = 0,904.