Physique, propulsion électrique. Concours général 2018.

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Les propulseurs électriques fonctionnent grâce à l'ionisation d'un gaz. Les ions produits au sein de ce moteur sont accélérés puis neutralisés à la sortie du moteur.
I. Propulseur ionique
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Il est constitué d'une chambre où sont lentement injectés des atomes de xénon. Ces derniers, bombardés électroniquement, sont ionisés. Les ions sont alors accélérés électriquement entre deux grilles perçées de milliers de trous, l'une chargée positivement et l'autre négativement. Entre ces grilles les électrons et les ions sont soumis à un champ électrique qui repousse les électrons et accélère les ions. La grille intérieure n'exerce aucune répulsion sur les ions car les parois de la chambre du propulseur sont au même potentiel que la grille intérieure. Les vitesses d'éjection atteintes par les ions sont importantes, de l'ordre de 30 km s-1. Un canon à électrons situé en sortie du propulseur neutralise les ions.

53. Comparativement à la propulsion chimique assurée par l'éjection de gaz, comment est assurée la propulsion ionique ?
La force de propulsion est due aux ions accélérés à très grande vitesse. La force accélératrice des ions cause une force de réaction de sens opposé
54. Quels avantages présente la propulsion ionique par rapport à la propulsion chimique ?
Moindre encombrement : les ergols, réservoirs, pompes, tuyauteries, représentant 55 % de la masse d'un satellite.
Les ions récupérent leurs électrons avant de sortir du moteur et l'énergie électrique nécessaire à l'ionisation est fournie par des panneaux solaires.
Ces moteurs sont économes en énergie et plus légers que les moteurs de fusées.
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. Pourquoi la propulsion ionique n'et-elle pas utilisée pour le décollage d'une fusée ?
Le décollage nécessite de fournir une accélération importante en peu de temps. Le moteur ionique fournit une force propulsive faible mais sur une longue durée.
56. Des deux grilles accélératrices, préciser quelle grille est chargée positivement. Justifier.
La grille intérieure est positive et la grille extérieure est négative. Les ions positifs sont ainsi fortement accélérés entre les grilles.
57. Quelle différence de potentiel DV = VP-VN doit être appliquée entre les deux grilles pour que les ions Xe+(g) de vitesse négligeable à l'entrée de ces grilles aient une vitesse avoisinant les 30 km s-1 en sortie de ces grilles ?
Travail de la force électrique entre les grilles : e DV.
Le poids des ions est négligeable devant la force électrique.
Théorème de l'énergie cinétique appliquée entre les deux grilles : ½mv2 -0 = e DV.
DV = 0,5 m / e v2.
m = 0,1312 / (6,02 1023) ~2,18 10-25 kg ; e = 1,6 10-19 C ; v = 3,0 104 m s-1.
DV = 0,5 x2,18 10-25 / (1,6 10-19) x9 108 ~6,1 102 V.
58. Quel est le rôle du canon à électrons situé à l'extérieur de la chambre ?
Les ions récupérent ainsi leurs électrons avant de sortir du moteur.

II. Le choix du xénon.
59. En quoi la masse atomique est-elle une caractéristique importante dans le choix d'un élément chimique dans un moteur ionique à éjection ?
L'énergie cinétique acquise par l'ion à la sortie des grilles est proportionnelle à la masse de cet ion.
60. Quel autre paramètre peut-on modifier pour augmenter la norme de la force de poussée F ? Comment la charge massique de l'ion X+ formé influence -t-elle ce paramètre ?
On peut augmenter la différence de potentiel existant entre les grilles.
v2 = 2 e / m DV.
Pour une différence de potenteil donnée, la vitesse finale est proportionnelle à la racine carrée de la charge massique de l'ion.
61. Justifier le choix du Xénon dans un moteur ionique parmi les cinq éléments proposés ( Césium, mercure, argon, krypton, xénon).
Le mercure est trop toxique et le césium érode les surfaces.
L'argon et le krypton ont des énergies de première ionisation plus élevées que celle du xénon.
De plus l'argon et le krypton ont une masse atomique inférieure à celle du xénon.

III. Propulseur à effet Hall.
On injecte des atomes de xénon dans une chambre cylindrique de diamètre 10 cm. Les électrons sont émis par un canon à électrons situé au fond de la chambre. En chemin, ils sont soumis à un champ magnétique radial qui permet de les confiner à la sortie de la chambre, là où le champ magnétique est le plus important.





Ce confinement permet l'existence d'un champ électrique intense à la sortie de la chambre, champ dirigé suivant l'axe de symétrie x du propulseur. La combinaison de ce champ électrique axial et de ce champ magnétique essentiellement radial conduit les électrons à se déolacer autour de l'axe de symétrie et engendre un fort courant de quelques dizaines d'ampères, dit courant de Hall.
Les ions sont alors générés par collisions entre les atomes de xénon et les électrons du courant de Hall. Ils sont ensuite accélérés par le champ électrique. Le mécanisme d'ionisation est plus efficace que pour un propulseur ionique à grilles mais le jet de d'ions xénon a une plus forte divergence qu'avec le propulseur ionique à grilles. L'autre partie des électrons émis par le canon à électrons sert majoritairement à neutraliser le faisceau d'ions qui sort du propulseur.
On considère une particule chargée de masse m, de charge q, de vitesse v plongée dans un champ magnétique B. On définit l'origine des temps lorsque la particule est à l'origine du repère cartésien avec la vitesse initiale v0.
62.  A l'aide de la deuxième loi de Newton et en négligeant le poids de la particule, établir les expressions des trois composantes de l'accélération en coordonnées cartésiennes en fonction notamment des composantes de la vitesse.

63. Quelle est la nature du mouvement suivant Oz ?
La composante de l'accélération az est nulle. Le mouvement est uniforme suivant l'axe Oz.
On admet que x(t) = v0 sin q / wc sin (
wct).
y(t) =
v0 sin q / wc (cos (wct)-1).
wc = eB / m pulsation cyclotron.

64. Montrer que wc est homogène à une pulsation.
e : charge électrique en coulomb ou ampère seconde.
B  :tesla ou kg s-2 A-1 ;  m : masse kg ; par suite eB / m s'exprime en s-1.
65. Montrer que la norme de la vitesse de la particule est v0 à chaque instant. Interpréter.
vx=
v0 sin q cos (wct) ; vy= -v0 sin q sin (wct) ; vz = v0 cos q .
v2 = vx2 +vy2+vz2 =v02
sin2 q cos2 (wct) + sin2 q sin2 (wct)+ cos2 q ) = v02.
La norme de la vitesse étant constante, la particule décrit une hélice d'axe Oz.
66. Justifier que la trajectoire de la particule autour d'une ligne de champ magnétique est une hélice de rayon R = v0 sin q / wc et de pas h = v0 2p cos q / wc. Tracer l'allure de la trajectoire.
Equation d'une hélice : x = R cos (wt) ; y = ±R sin (wt) ; z = b t.
On effectue un tour en une durée égale à 2 p /wc seconde et z augmente du pas de l'hélice.
Par suite z(t)= =
wc / (2p) pas  t.
On identifie à :
x(t) = v0 sin q / wc sin (wct) ; y(t) = v0 sin q / wc (cos (wct)-1) ; z(t) = v0 cosq  t.

67. Quelle est l'influence d'une augmentation de la valeur du champ magnétique sur R et h ?
Si B augmente, alors wc croît ;  R et h  diminue.




La figure ci-dessous illustre la topologie magnétique d'un propulseur à effet hall. les lignes de champ en sortie du propulseur sont quasi-radiales.

68. Dans quelle zone du propulseur le champ magnétique est-il le plus intense ?
Le champ magnétique est d'autant plus intense que les lignes de champ sont plus proches.
69. Déterminer l'ordre de grandeur de l'énergie cinétique d'un électron nécessaire pour ioniser un atome de xénon gazeux en ion Xe+(g). Donner une estimation du rayon et du pas de l'hélice qu'aurait un tel électron pour un angle q = 45° dans la zone où le champ est le plus intense.
Energie de première ionisation du xénon : 12,13 eV soit 12,13 x1,6 10-19 = 1,94 10-18 J.
v = (2 x1,94 10-18 / (9,1 10-31))½ ~ 2 106 m /s..
B ~0,02 T ; wc = eB / m = 1,6 10-19 x 0,02 / (9,1 10-31) =3,51 109 s-1.
R = v0 sin q / wc  = 2 106 x 0,707 / (3,51 109) ~4 10-4 m = 0,4 mm.
h = v0 2p cos q / wc  = 2 106 x2 x3,14 x 0,707 / (3,51 109) ~ 2,5 10-3 m =2,5 mm.
70. Déterminer l'ordre de grandeur du rayon pour un ion Xe+(g) dont la vitesse avoisinerait les 30 km /s. Commenter.
R = v0 sin q / wc  = 3 104 x 0,707 / (3,51 109) ~6 10-6 m = 6 µm.
Les ions Xe+(g) restent pratiquement sur l'axe Oz..
71. Citer un avantage du propulseur à effet Hall par rapport à un propulseur ionique.
Propulseur à effet Hall : l'accélération des ions se déroule dans un plasma pratiquement neutre, l'efficacité du propulseur est plus grande.
Ce type de propulseur est de taille plus réduite que le propuleur à grilles.
72. En quoi la divergence du jet est-elle un inconvénient ?
Diminution de la poussée, érosion des parois en céramique.


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