Mathématiques, école nationale supérieure maritime ENSM 2016.

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Question 1 ( 4 points).
Un volume constant de 2200 m3 d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Une circulation est créée entre les bassins à l'aide d'un système de pompes. A a une capacité de 1200 m3 et contient initialement 800 m3 d'eau. Toutes les 24 heures, 15 % du volume d'eau présent en B est transféré vers A alors que 10 % du volume d'eau du bassin A est transféré vers B.
Pour tout entier n > 1 on pose :
an le volume d'eau en m3 contenu dans le bassin A après le n ième jour de fonctionnement.
bn le volume d'eau en m3 contenu dans le bassin A après le n ième jour de fonctionnement.
On a donc a1 = 800.
1.a. Par quelle égalité liant an et bn, la conservation du volume d'eau se traduit-elle ?
an + bn = 2200.
1.b. Justifier que pour tout entier n >1, on a : an+1 = 0,75 an +330.
an+1 = 0,9an+0,15 bn  =
0,9a1+0,15 (2200-an) = 0,75 an+330
2.a. Le plan étant muni d'un repère orthogonal ( 1 cm représente 200 m3 ), on note D et D' les droites d'équations y = x et y = 0,75x +330. Représenter graphiquement les 5 premiers termes de la suite (an).

2.b. On note (un) la suite définie par un = an -1320 pour tout entier n >1.
Montrer que (un) est une suite géométrique. En déduire l'expression de an en fonction de n.
un+1=
0,75 an +330-1320 = 0,75 an -990= 0,75 ( an -990 / 0,75) =0,75 ( an -1320) = 0,75 un.
(un) est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme u1 =800-1320= = -520.
an = un +1320= 1320-520x 0,75n-1.

2.c. Au bout de combien de jours doit-on stopper la circulation d'eau pour éviter le débordement du bassin A ?
1320-520x 0,75n-1< 1200 ; 120 < 520 x 0,75 n-1 ;
ln ( 120 / 520) < (n-1) ln (0,75) ;  n-1 <5,1 ; n < 6.

Question 2. (5 points).
1. Montrer que l'équation (E) : x3=3x-1 admet trois solutions distinctes dans R comprises entre -2 et +2.

.
On pose f(x) =x3-3x+1.
f '(x) =  3x2 -3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).







2.a.  On se propose de déterminer les valeurs exactes de ces trois solutions. Déduire de l'égalité e3it = (eit)3 que  :
cos(3t) = 4 cos3(t) -3cos(t) avec t réel.
e3it = cos (3t) + i sin(3t) ;
(eit)3 = (cos(t) + i sin(t))3 = cos3(t) -i sin3(t) -3 cos(t) sin2(t)+3i cos2(t) sin(t).
On identifie les parties réelles : cos(3t) =
cos3(t)-3 cos(t) sin2(t).
sin2(t) = 1 -cos2(t) ;
cos(3t) = cos3(t)-3 cos(t)+3cos3(t).
2.b. Soit x l'une des solutions de (E). x étant compris entre -2 et 2, il existe un unique réel t appartenant à [0 ; p] tel que x = 2 cos(t).
En déduire que t appartenant à
[0 ; p] est tel que : 1 +2cos(3t) = 0 ; déterminer les valeurs exactes de x1, x2 et x3.
x3 -3x +1 = 0 ; 8 cos3(t) -6 cos(t) +1 = 0.
Or 4 cos3(t) =cos(3t) + 3cos(t) ; 2 cos(3t) + 6 cos(t) -6 cos(t) +1 = 0 ; 2 cos(3t)+1 = 0.
cos (3t) = -0,5 = cos (2p/3).
3t =
2p/3 + 2 kp ; t = 2p/9 + 2 kp /3 ;  t = 2p/9 ; x3 =  2 cos(2p/9) ~1,53.
 t =
8p/9 ; x1 =  2 cos(8p/9) ~-1,88.
t = -4p/9 ; x2 =  2 cos(4p/9) ~ 0,347.

Question 3. ( 6 points).
La durée de vie d'un composant noté C a une durée de vie en semaines qui suit la loi exponentielle de paramètre l = 0,02.
1. Quelle est la durée de vie moyenne d'un composant ?
µ = 1 / l = 1 /0,02 = 50 semaines.

2. On monte deux composants C en parallèle. Le signal peut être transmis tant que l'un des composants est en état de marche. les durée de vie des composants sont indépendantes. On note :
T1 la variable aléatoire mesurant la durée de vie en semaines du composant 1.
T2 la variable aléatoire mesurant la durée de vie en semaines du composant 2.
T la variable aléatoire mesurant la durée de vie en semaines des composants montés en parallèle.
a. Déterminer en fonction de t ( réel positif exprimé en semaine), la probabilité que ce système cesse de fonctionner avant la date t.
P( T1 < t) =1-e-0,02t.
P( T2 < t) =1-e-0,02t.
T1 et T2 étant indépendants : P(T < t) = P(T1 <t) n P(T2 <t) = (1-e-0,02t)(1-e-0,02t) =(1-e-0,02t)2.
Le système tombe en panne si les deux composants sont défaillants.
Probabilité que le système cesse de fonctionner avant la date t : (1-e-0,02t)2.
b. On rappelle que la fonction de densité de probabilité, f, de la variable T, est la fonction numérique f telle que :
En déduire que la fonction de densité de probabilité f de ce système est f(x) = 0,04(e-0,02x -e-0,04x).
P( T < t)=(1-e-0,02t)2.
On dérive en posant u = 1-e-0,02t ; u' =0,02e-0,02t ; f(x) = 2 uu' =0,04e-0,02t(1-e-0,02t).
c. La durée de vie moyenne en semaine de ce système est le réel E(t) telle que :
k désignant une constante réelle non nulle, montrer qu'une primitive sur [0 ; +oo[ de la fonction x ekx est la fonction (
ax+b) ekx où a et b sont deux constantes réelles dont vous donnerez l'expression en fonction de k.
Dériver
( ax+b) ekx en posant u = ax+b et v = ekx ; u' = a ; v' = k ekx ; u'v+v'u = aekx+ (ax+b) k ekx =(a+bk +akx)ekx.
On identifie : ak = 1 ; a = 1 / k ; a+bk = 0 ; b= -a / k = -1 /k2.
En déduire E(x).
x f(x) =
0,04 [ x e-0,02x - xe-0,04x].
Primitive de x f(x) : 0,04  [-1 / 0,02
( x+1 / 0,02) e-0,02x+1 / 0,04 ( x+1/ 0,04) e-0,04x].
0,04  [-1 / 0,02( t+1 / 0,02) e-0,02t+1 / 0,04 ( t+1/ 0,04) e-0,04t] -0,04[-1 /0,022+1 /0,042].
2  [-1( t+1 / 0,02) e-0,02t+ ( t+1/ 0,04) e-0,04t] - [-2 /0,02+1 /0,04].
 
Quand t tend vers plus l'infini :
e-0,02t tend vers zéro ; (t+1/k)ekt tend vers zéro.
E(T) =2 / 0,02 -1 / 0,04 = 100-25 = 75.
Pourcentage d'augmentation : (75-50) / 50 x100 = 50 %.




Question 4 ( 5 points). Vrai ou faux avec justification.
1. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. Pour tout n entier naturel, Mn désigne le point de ce plan dont l'affixe est définie par :
z0 = 1 et zn+1 =(1-i 3½) zn.
Affirmation 1 : Le triangle OMnMn+1 est un triangle rectangle. Vrai.
z1 =1-i 3½ , M1( 1 ; -3½) ; OM12 = (1+(-3½)2) = 4.
z2 =(1-i 3½ )2= -2 -2i 3½ ; M2( -2 ; -2 *3½) ; OM22 = (4+(-2*3½)2) = 16 ;
M1M2 2=( (-2-1)2 +(-2 *3½+3½)2)½ =12.
Angle formé entre OMn et OMn+1 : 60 °.
OMn+1 / OMn = 2. le triangle OMnMn+1 est un triangle demi-équilatéral.

Affirmation 2 : Il n'existe aucune valeur de n pour laquelle Mn est un point de l'axe vertical. Vrai.
On pose y =1-i 3½  ; |y| = (1 +3)½ = 2 ; y / |y| =0,5 -i 3½ / 2 = e-ip/3.
zn+1 =2e-ip/3zn = 2n+1 exp (- i(n+1)p /3) =2n+1 ( cos ( (n+1)p /3))-i sin( (n+1)p /3))).
zn+1 est un imaginaire pur si (n+1)p /3) =k p /2 avec k entier ; (n+1) / 3 = k / 2 ; n+1 = 1,5 k ; n = 1,5 k-1.

2. L'espace est muni d'un repère orthogonal. On considère les points A (-3 ; 1 ; 1) ; B(-1 ; -3 ; -1) et le plan P d'équation x-2y-z=0.
Affirmation 3 : B est le symétrique de A par rapport au plan P. Vrai.
Coordonées d'un vecteur normal au plan P : (1 ; -2 ; -1).
Coordonnées du vecteur AB : (-1-(-3) ; -3-1 ; -1-1) soit (2 ; -4 ; -2).
Ces deux vecteurs sont colinéaires.
Coordonnées du milieu I de AB : (-2 ; -1 ; 0).
Si I appartient au plan P : -2 -2(-1)-0 =0 est vérifié.

3. Lorsque 1 / e < x < e, l'expression ln(x) +1/x est majorée par e-1. Vrai.
On dérive f(x) = ln(x) +1/x ; f '(x)= 1 / x -1/x2 = 1/x ( 1-1 /x), s'annule pour x = 1 ; f(1) = 1.
f '(x) est négative pour x appartenant à [1 / e ; 1] : f(x) est décroissante de ln(1/e)+e = e-1.
f '(x) est positive pour x appartenant à [1 ; e] : f(x) est croissante de 1 à ln(e) +1/e =1+1/e.






  

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