Comportement d'une population de dipôles dans un champ magnétique, concours Concours commun polytechnique 2017.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.



Partie I – Comportement d’une population de dipôles dans un champ magnétique.
I.1- Dipôles magnétiques
 Q1
. Définir le vecteur moment magnétique associé à une boucle circulaire de courant de rayon R et d’axe de révolution Oz, parcourue par une intensité I, dans le cadre de l’approximation dipolaire .Le sens de rotation directe autour de l’axe Oz est le sens d’orientation de l’intensité algébrique.


Q2. Expliquer pourquoi une sphère chargée, en rotation autour d’un axe passant par son centre, est elle-aussi caractérisée par un moment magnétique dont on précisera la direction et le sens (on ne demande pas le calcul du moment mais seulement la justification de son existence).
Une charge en mouvement crée un courant.
Une charge en rotation autour d'un axe crée une boucle circulaire de courant. La sphère chargée en rotation autour d'un axe passant par son centre, peut être considérée comme un empilement de boucles de courant. Une telle sphère possède donc un moment magnétique dirigé suivant l'axe de rotation de la sphère.
Dans le cas du proton (noyau d’hydrogène) qui tourne sur lui-même (rotation propre de vecteur de rotation W autour d’un axe Oz), on peut lui associer un moment magnétique µP colinéaire à W.
Q3. Justifier par analyse dimensionnelle l’unité (J T-1) écrite dans le tableau de données.
Le moment d'une force s'exprime en N m et le champ magnétique en tesla ( T). Le moment magnétique s'exprime en N m T-1.
Le newton mètre (N m) est homogène à une énergie ( J).
 Soit un dipôle magnétique de moment µ placé en O dans un champ magnétique extérieur uniforme permanent B0.
Q4. En déduire quelles sont les 2 positions d’équilibre d’un moment dipolaire magnétique, dans un champ magnétique extérieur uniforme B0, en précisant les valeurs associées de l’énergie potentielle.
Energie potentielle d'interaction entre ce dipole et le champ magnétique extérieur.
Ep = - µ B0 cos q, q étant l'angle formé entre le moment magnétique et le champ magnétique B0.
Ep est minimale -µB0 ( équilibre stable) lorsque le champ magnétique B0 et le dipole sont alignés.
Ep est maximale +µB0 ( équilbre instable) lorsque le champ magnétique B0 et le dipole sont antiparallèles.
Q5. Évaluer la différence d’énergie en eV entre les deux configurations d’équilibre d’un noyau d’hydrogène soumis à un champ magnétique permanent de 1 tesla (ordre de grandeur typique en RMN).
DEp = 2 µPB0 =2 x1,4 10-26 x1 = 2,8 10-26 J.
ou 2,8 10-26 / (1,6 10-19) = 1,75 10-7 eV.
 Q6. Comparer cette valeur à celle de l’énergie thermique à 37 °C.
Ethermique = k T = 1,4 10-23 x(273+37)=4,34 10-21 J
Ethermique >>DEp . L'énergie thermique est suffisante pour faire passer le proton d'un état d'équilibre à un autre.
Q7. L’ordre de grandeur de l’énergie de liaison covalente de OH dans l’eau est de 5 eV et celui d’une énergie d’ionisation est de 13,6 eV. Justifier l’utilisation de la RMN en imagerie médicale, en considérant que la méthode fait passer le proton d’un état d’équilibre à l’autre.
DEp est très inférieure à l'énergie de liaison covalente OH ainsi qu'à l'énergie d'ionisation des molécules. L'énergie apportée par le champ magnétique extérieur ne peut ni endommager les liaisons chimiques ni ioniser les moléculzq du corps humain.

Nous considérons qu’une population de dipôles, placés dans un champ magnétique extérieur B0 de 1 tesla, en équilibre thermique à la température T, obéit à la statistique de Boltzmann.
Q8. Rappeler, à un facteur multiplicatif près, l’expression de la probabilité d’occuper un état d’énergie E par un dipôle.
p(E) = 1 / Z exp(-E / (kT)).
Q9. Évaluer le rapport des populations NN+ / NN- , en équilibre thermique à la température T, NN+ étant la densité volumique de dipôles de plus grande énergie et NN- étant la densité volumique de dipôles de plus petite énergie (on admettra que l’on peut effectuer un développement limité à l’ordre 1).
NN+ / NN-  = exp(-µPB0 / (kT)) / exp(+µPB0 / (kT)) =exp(-2µPB0 / (kT)).
Or µPB0 / (kT) << 1, d'où : NN+ / NN-  ~1-PB0 / (kT)
Q10. À quelle orientation correspond la population la plus nombreuse à l’équilibre thermique ?
A l'équilibre thermique NN+ < NN-  .
On note h = (NN- -NN+) /  (NN- +NN+) la différence relative de population entre les deux niveaux.
Q11. Exprimer, à l’équilibre thermique, la différence relative
h = h0 (toujours à l’ordre 1) en fonction de µ, k, T et B0.
1-NN+ / NN-  =PB0 / (kT) ; (NN-  -NN+ ) / NN-  =PB0 / (kT) ; (NN-  -NN+ ) = 2NN- µPB0 / (kT).
1+NN+ / NN-  =2-PB0 / (kT) ; (NN-  +NN+ ) / NN-  =2+2µPB0 / (kT) ; (NN-  +NN+ ) = 2NN- (1+µPB0 / (kT)).
µPB0 / (kT) << 1, h0=µPB0 / (kT).
Q12. Donner sa valeur numérique pour des protons placés dans un champ de 1 tesla, à une température de 37 °C et commenter.
h0=1,4 10-26 / (1,4 10-23 x310) ~3 10-6 <<1.
La probabilité de trouver un proton dans l'état énergétique haut est  à peu près identique à celle de le trouver dans l'état énergétique bas.




I.2- Rapports gyromagnétiques
Une boucle de courant est créée par un électron dans son mouvement orbital autour du noyau. On considère l’orbite circulaire, de rayon rB.
Q13. Exprimer le moment magnétique µe associé à cette boucle de courant en fonction du rayon rB, de la vitesse v et de constantes fondamentales.

Q14. Exprimer le moment cinétique de l’électron, par rapport au point O,en fonction des mêmes paramètres.

Q15. Exprimer le rapport gyromagnétique correspondant en fonction des constantes
fondamentales et calculer la valeur numérique du rapport gyromagnétique de l’électron.
gee / se = -e / (2me) =1,6 10-19 /(2 x9,1 10-31)=8,79 1010 C kg-1.
Le corps humain est essentiellement constitué d’eau : l’hydrogène représente 10 % de la masse corporelle, c’est-à-dire 86 % de la composition chimique de notre organisme. On étudiera donc, par la suite, le comportement de ces protons soumis à un champ magnétique extérieur B0..
On peut, comme dans l’exemple de l’électron, associer au proton un rapport gyromagnétique égal au rapport de son moment magnétique et de son moment cinétique. Pour l’hydrogène H isolé, le rapport gyromagnétique, qui vaut gp = 2,67.108 rad.s–1.T–1, est associé à un moment cinétique quantifié qui ne peut prendre que les valeurs ± h /2
Q16. Les valeurs ci-dessus sont-elles conformes à la valeur du moment magnétique μp ?
µp = gp sp = 2,67 108 x1,05 10-34 / 2 = 1,4 10-26 J T-1. Donc conformité des valeurs.
Q17. Exprimer en fonction de B0 et gp la fréquence du photon qui permet le passage du niveau de plus basse énergie au niveau de plus haute énergie pour l’hydrogène.
Q18. Quelles sont la fréquence et la longueur d’onde λ correspondantes pour un champ permanent de 1 tesla ?
DE = 2 µp B0 = h n ; n =2 x1,4 10-26 x1 / (6,63 10-34)=4,2 107 Hz = 42 MHz.
l = c / n =3 108 / (4,2 107) =7,1 m.

I.3- Précession d’un dipôle.
On écarte un dipôle d’un angle α par rapport à la position d’équilibre stable dans un champ magnétique B0.
Q19. Écrire l’équation différentielle caractéristique de l’évolution du vecteur moment dipolaire .
Ecrire le théorème du moment cinétique :

Q20. Montrer que sa norme se conserve et que la projection du moment sur l’axe du champ magnétique se conserve aussi.

Q21. Décrire le mouvement de la projection du vecteur dans un plan orthogonal au champ magnétique.
La projection du mouvement du moment magnétique du dipôle dans un plan perpendiculaire au champ B0 est un mouvement circulaire uniforme de pulsation w0.
Q22. Décrire le mouvement complet du dipôle en vous appuyant sur un dessin. Préciser le sens du mouvement de précession.

Lorsque les protons étudiés se trouvent dans une molécule (ou un cristal), les liaisons chimiques entre atomes modifient la fréquence de résonance précédente par modification du rapport gyromagnétique. Mais ces effets sont très petits (ils sont généralement mesurés en parties par million ou ppm). Il faut donc des instruments très sensibles pour distinguer entre protons libres et protons engagés dans une liaison chimique.



I.4- Précession de l’aimantation.
À l’état naturel, les vecteurs moments dipolaires des noyaux d’hydrogène sont répartis dans toutes les directions et il n’y a pas d’effet magnétique global pour un échantillon. Par contre, en présence d’un champ magnétique extérieur, l’hydrogène aura des propriétés magnétiques caractérisées par un vecteur moment magnétique global volumique appelé aimantation M. En IRM, c’est ce vecteur aimantation M , obtenu en présence d’un champ magnétique extérieur, qui permet d’obtenir des images des tissus du corps humain.
On considère l’état d’équilibre thermique d’un échantillon contenant des hydrogènes en présence d’un seul champ fort permanent B0. On suppose, pour simplifier, que le système des dipôles magnétiques associés aux protons peut être décrit comme un système à 2 états ne pouvant occuper que les positions parallèles (vecteur moment dipolaire et champ magnétique de même sens) ou antiparallèles (vecteur moment dipolaire et champ magnétique de sens contraire), décrites à la question Q4 .
Q23. Comment est orienté le vecteur aimantation de norme M0 ?
Le vecteur aimantation et le vecteur champ magnétique sont parallèles de même sens.
Q24. Exprimer la valeur de M0 en fonction du nombre N de noyaux d’hydrogène par unité de volume, de h et de μp.
M0 = -µpN+pN-p(-N+ +N- )=h N µp.
En mécanique quantique, le moment cinétique du noyau d’hydrogène est quantifié en projection sur l’axe Oz par σz = ± h / (2π) S = ± h S, avec S =½.
Q25. Exprimer M0 à partir du nombre N de noyaux d’hydrogène par unité de volume, du rapport gyromagnétique gp du proton, du champ magnétique B0, de la température T et des constantes de Planck et de Boltzmann.
M0 =h N µp=h N gpsp=h N gp h / 2=µpB0 / (kT) N gp h / 2=N ( gp h / 2)2 B0 / (kT).
Q26. Évaluer la concentration volumique des noyaux d’hydrogène (exprimée en m–3) en assimilant le corps humain à de l’eau (masse molaire de l’eau H20 : m = 18 g.mol–1 et masse volumique de l’eau ρ = 1,0 g.cm–3).
Nombre de molécule d'eau par unité de volume  : r Na / m = 1000 x 6,02 1023 / 0,018 =3,34 1028 m-3 .
Chaque molécule d'eau compte deux protons  ; nombre de protons par unité de volume : 6,7 1028 m-3 .
Q27. Comparer le champ créé par ce dipôle global à une distance de 1 m sur son axe au champ permanent B0 = 1 T.
B = µ0M cos q / (2pr3) avec q = 0 ou p.
M = h N µp= 3 10-6 x 6,7 1028 x1,4 10-26=2,8 10-3.
Norme de B = 4 p 10-7 x 2,8 10-3 / (2 p) = 5,6 10-10 T.
Q28. Justifier l’introduction d’un champ perturbateur qui change la direction de l’aimantation.
Le champ B0, très intense par rapport au champ créé par l’aimantation, ne permet pas l’étude sur Oz.

On va donc étudier l’évolution dans le temps du vecteur aimantation M qui caractérise l’ensemble des moments dipolaires des protons présents dans l’échantillon. Si on provoque un changement de l’orientation des moments magnétiques, l’aimantation va tendre à retourner à sa valeur à l’équilibre thermique avec un temps de relaxation ou temps caractéristique.
Q29. Interpréter les équations de Bloch en précisant à quel couple supplémentaire C est soumis le vecteur aimantation pour traduire le phénomène de relaxation.

Les coordonnées du couple supplémentaire sont indiquées en rouge ci-dessus.
Q30. Quel est le domaine des radiofréquences ? Est-ce conforme au résultat de la question Q18.
Fréquences comprises entre 3 Hz et 300 MHz.
Longueur d'onde comprises entre 1 m et 100 000 km.


.



  

menu