Etude du Nautilus.

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D’après le Capitaine Nemo : « C’est un cylindre très allongé, à bouts coniques.
Il affecte sensiblement la forme d’un cigare, [. . . ] ». Même si certaines caractéristiques du submersible semblent aujourd’hui encore irréalistes, d’autres sont étonnamment proches de celles de sous-marins modernes.
Des élèves ont réalisé des expériences, dans le cadre des Olympiades de la Physique, pour comprendre l’intérêt de la forme en cigare du Nautilus.
1 Établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v d’un objet lors de sa chute dans un fluide. Les frottements fluides exercés sur l’objet sont modélisés par une force  , k étant une constante positive et v la vitesse du système étudié par rapport au milieu considéré au repos dans le référentiel d’étude.

r = 900 kg m-3 masse volumique du fluide ; V : volume de l'objet.

Ecrire la seconde loi de Newton en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas.
mg -k v -r V g = m dv /dt.
dv /dt +k / m v = g(1-r V / m). (E)
Donner l’expression littérale de la vitesse v (t) de l’objet, solution de l’équation différentielle trouvée à la question précédente. En déduire l’expression de k en fonction de la vitesse limite et d’autres paramètres du problème.
Solution générale de dv /dt + k / m v = 0 : v(t) = A exp(-k/m t) avec A une constante.
Solution particulière de (E) : vlimite = g / k(m-r V ).
Solution générale de (E) : v(t) = A exp(-k / m t) + vlimite.
A est déterminée par la condition initiale v(t=0) = 0 ; A = -vlimite.
v(t) = vlimite ( 1-exp(-k/m t).
k =
g(m-rV) /vlimite .
3 Les élèves ont tracé les tangentes à la courbe à l’origine et à l’infini : quelles informations peut-on en tirer ?


La tangente à la courbe à l'infini donne la vitesse limite vlimite = 0,34 m /s.
La tangente à l'origine donne la constante de temps m / k = 0,2 s.
4 Déduire des résultats expérimentaux la valeur de k pour chaque objet. Conclure.
vlimite (cube) = 0,2587 m /s ; vlimite (sphère) = 0,268 m /s ; vlimite (Nautilus) = 0,3404 m /s.
Les objets ont la même masse m = 7,0 g et le même volume V  =4 cm3.
kcube = 9,8(4 10-3 -4 10-6 x900) /0,2587  =3,92 10-3/ 0,2587 ~ 1,5 10-2 kg  / s ;
ksphère = 3,92 10-3 / 0,268 ~1,46 10-2 kg / s.
kNautilus = 3,92 10-3 / 0,3404 ~1,15 10-2 kg/ s.
La forme en cigare du Nautilus améliore son hydrodynamisme.
5 Sachant que pour l’eau de mer r = 1026 kg·m−3 et h = 1,07.10−3 Pa·s à 20 °C, expliquer le choix de l’huile pour réaliser l’expérience. Viscosité de l'huile  60 10-3 Pa s.
L'huile et l'eau de mer ont des masses volumiques voisines. Par contre, l'huile ayant une viscosité 60 fois plus grande que celle de l'eau de mer, les vitesse limites seront faibles. Le pointage vidéo en sera facilité.

6 En considérant les valeurs des vitesses limites données par les élèves, formuler quelques conseils pour écrire convenablement le résultat d’une mesure.
Evaluer les sources d'incertitudes et en déduire celle du résultat.
Connaissant cette incertitude, on ne garde pas trop de nombre de chiffres significatifs  ; le résultat ne doit pas être plus précis que l'incertitude.


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7  Résolution de problème : à la place du capitaine Nemo!
Evaluer le volume minimal de l’ensemble des ballasts à prévoir pour que le Nautilus puisse avoir une "pesée parfaite", c’est à dire qu’il soit statique en immersion, à une profondeur de 300 m.

Le sous-marin est "parfaitement pesé" s’il est stable en immersion à vitesse nulle et avec une assiette nulle (horizontal).
Masse du Nautilus vide : mvide = 1392 tonnes = 1,392 106 kg.
Volume immergé =  1356,28 m3 soit les 9 /10 du volume total V.
V = 1356,28 x10 / 9 ~1507 m3.

Le coefficient de compressibilité de l'eau de mer vaut : 4,36 10-5 atm-1 = 4,36 10-10 Pa-1.
Ce coefficient étant très faible, la masse volumique de l'eau de mer à 300 m de profondeur est pratiquement égale à la masse volumique à la surface r0 = 1026 kg m-3.
Le Nautilus a une pesée parfaite à la profondeur de 300 m si son poids est égl à la poussée d'Archimède.
r0V g = (mvide + mballast) g= ( mvide + Vballast r0) g.
Vballast = (V -mvide / r0 )= 1507-1,392 106 /1026 ~ 150 m3.


 


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