Les rayons X et la radiographie, Capes physique chimie 2016.

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On obtieent des rayons X par bombardement de la matière, généralement un métal,  par des électrons. Lors de l'interaction, l'électron pénètre dans le métal de la cible où il subit une décélération brutale. La perte d'énergie cinétique de l'électron est convertie à 99 % en énergie thermique et à 1 % en rayonnement X.
1. Justifier l'allure du spectre du rayonnement émis par un tube à rayons X.

Le fond continu est dû au rayonnement de freinage. Le spectre de raies d'émission est dû au réarrangement du cortège électronique des atomes de la cible.
2. Illustrer par un schéma l'effet Compton.
Lorsqu'un photon X passe à proximité d'un électron périphérique peu lié à l'atome, l'énergie du photon est en partie transmise à l'électron : ce dernier est arraché de l'atome et s'échappe avec une certaine énergie cinétique. Le reste de l'énergie se retrouve sous la forme d'un photon X de direction différente et d'énergie inférieure.

La probabilité d'interaction par un effet Compton ne dépend pas du numéro atomique.
L'effet Compton est prépondérant dans les tissus organiques avec des photons X de grande énergie.


Le filament de tungstène d'un tube de Coolidge est assimilé à un fil cylindrique de rayon r et de longueur L enroulé en hélice. En régime permanent, il est parcouru par un courant électrique d'intensité I, et sa température, constante, est notée T. La résistivité du tungstène est notée r.
la loi de Stefan donnant la puissance rayonnée par unité de surface pour un corps porté à la température T s'écrit : P = s T4.
r = 50 µm ; s = 5,67 10-8 W K-4 m-2.
A haute température ( 2350°C) r = 7,75 10-7 W m.
3. Etablir, en régime permanent, l'expression suivante : r I2/ (p2 2r3) =
s T4.
Section du fil : S = pr2 ; résistance électrique du fil : R = r L / S = r L / (
pr2).
Puissance dissipée par effet Joule dans le filament : P = RI2 =
r I2 L / (pr2).
Puissance rayonnée :
s T4(2 p r L).
En régime permanent :
s T4(2 p r L) = r I2 L / (pr2).
r I2/ (p2 2r3) = s T4.
Calculer l'intensité du courant qui parcourt le filament lorsque sa température est de 2350 °C.
I2 =
s T4 p2 2r3/ r =5,67 10-8 x(2350 +273)4 x3,142 x2 x (50 10-6)3 /(7,75 10-7) =8,545 ; I =2,9 A.
4. Extrait du cours Bases physiques des rayons X : " A condition d'appliquer une ddp suffisante entre anode et cathode, l'intensité  du courant dépend uniquement de la température et donc du courant de chauffage du filament ( région de saturation)".
la formulation de cette phrase présente une difficulté pour le lecteur. Laquelle ? Proposer une nouvelle rédaction de cet extrait de cours qui permettrait de lever cette difficulté.
L'acronyme " ddp"  et l'ambiguité entre intensité du courant et courant de chauffage sont à éclaircir.
A condition d'appliquer une tension suffisante entre anode et cathode, le courant d'électrons  entre les électrodes  dépend uniquement de la température et donc du courant électrique de chauffage du filament.
5.  Calculer  les valeurs des vitesses des électrons à leur arrivée sur l'anode, pour les tensions suivantes 45 kV, 70 kV et 120 kV. Commenter.
La vitesse initiale des électrons est négligeable. Le poids des électrons  est négligeable devant la force électrique.
Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre anode et cathode ; ½mv2 = eU ;
v = (2eU / m)½= (2 x1,6 10-19 /(9,1 10-31)½ U½ =5,9 105 U½.
5,9 105 x 45 000 ½ =1,3 108 m /s.
5,9 105 x 70 000 ½ =1,6 108 m /s.
5,9 105 x 120 000 ½ =2,0 108 m /s.
La vitesse des électrons croît quand la tension augmente.  La vitesse de électrons étant de l'ordre  de 108, un calccul relativiste aurait été plus précis.
A propos de l'absorption des rayons X avec la matière.
Le faisceau de rayons X, de direction Ox, est constitué d'un flux homogène de photons. Les phénomènes de diffraction et de diffusion sont négligés. La couche de matière d'épaisseur dx et de surface S est constituée d'un seul type d'atome. Le matériau possède une masse volumique r et une masse molaire M.

6. Exprimer le nombre dN d'atomes contenus dans  ce volume en fonction de M, r, S et dx et de la constante d'Avogadro NA.
Volume de cette couche : S dx ; masse correspondante : r S dx.
Quantité de matière d'atomes : rSdx / M ; dN = NA
rSdx / M.
On suppose dx suffisamment petit pour que tous les atomes de la couche soient contenus dans un même plan et on appelle ra le rayon de ces atomes. On appelle N(x) le nombre de photons incidents du faisceau de rayons X, traversant la section S du faisceau incident par unité de temps et N(x+dx) le nombre de photons transmis au-delà de la couche d'épaisseur dx, par unité de temps.
7.  Proposer un modèle simple de l'absorption permettant d'expliquer la variation de N entre x et x+dx.
Un rayon X est absorbé s'il percute un atome. La probabilité d'absorption d'un rayon X est : pra2 / S.
8. En utilisant le modèle précédent, exprimer N (x+dx) en fonction de n(x), r, M, ra, NA et dx et montrer que l'équation différentielle vérifiée par N(x) s'écrit  : dN /dx +p ra2 NA / M r N = 0.
N(x+dx) =  N(x) ( 1-dN
pra2 / S).
De plus N(x+dx) = N(x) +dN(x).

dN(x) / dx + N(x) dNpra2 / S=0.
dN(x) + N(x) NA rSdx / M pra2 / S=0.
dN(x) + N(x) NA r dx / M pra2 =0.
dN(x) /dx+ N(x) NA r  / M pra2 =0.
On pose N(x=0)= N0 et µ =
NA r  / M pra2 , coefficient d'absorption.
la coordonnée x=0 correspond à l'entrée du matériau.
dN(x) / dx +µ N(x) = 0.
9 . Donner la solution de cette équation différentielle.
N(x) = N0 exp(-µx).
A partir du modèle simplifié de l'atome, on montre que l'on peut exprimer le rayon ra par la relation : ra = -Z2e2 / (4 pe0 E1).
E1 : énergie du niveau fondamental et Z : numéro atomique.
10. Justifier que, pour la plupart des éléments, le rapport M / Z vaut approximativement 2 g / mol.
Les éléments chimiques les plus légers ( H excepté) possèdent un nombre de protons égal  au nombre de neutrons.
M = (N+Z )mproton NA ~2 Z M(H)=2 Z ; M / Z ~ 2 g / mol.
Comparer l'expression de µ du modèle proposé au coefficient d'absorption pour l'effet photoélectrique
µphotoélectrique =  C r Z3 / E3 avec r masse volumique du milieu traversé, Z numéro atomique du milieu traversé, E énergie des photons et C une constante.
µ =NA r  / M pra2=NA r  / M p(-Z2e2 / (4 pe0 E1).)2 = NA r  / (2Z) p(-Z2e2 / (4 pe0 E1).)2 =C' r Z3 / E12.
C' est une constante.
Les deux expressions indiquent que le coefficient d'absorption est prroportionnel à la fois à la masse volumique du milieu et au cube du numéro atomique de l'élément chimique constituant ce milieu.
Par contre seul µphotochimique dépend de l'énergie des photons X.

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Tâche complexe.
11.
Proposer une correction  de la tache complexe suivante pour des étudiants de licence.
La radiographie d'un bassin.

Un manipulateur en radiologie obtient par un enregistrement analogique une radiographie du bassin. Les constantes radiologiques fixées par le manipulateur pour le réglage de l'appareil sont 70 kV et 120 mAs.

En première approximmations les zones distinctes observables sur le cliché correspondent aux tissus mous, aux os et aux vis chirurgicalles. Justifier quantitativement ces observations.
Vis en fer : masse volumique et numéro atomique élevés, donc absorption importante des rayons X. Le film photographique située à l'arrière des vis est peu exposé aux rayons X : il apparaît en clair.
os : masse volumique et numéro atomique ( Ca = 20) moyens, l'absorption des rayons X est moins importante que pour le fer. Le film photographique est davantage impressionné  ( zone gris clair).
Tissus mous : masse volumique et numéro atomique faibles, rayons X peu absorbés. Le film est encore plus impressionné par les rayons X : il apparaît plus foncé.
12. Concevoir une tâche complexe pour une classe de première ST2S sur le thème ( les rayons X ( radiographie, radioprotection, facteurs d'absorption des rayons X ).
Problèmatique : de quel matériau est constitué l'écran de protection d'un radiologue ?
 Documents ressources :
Production des rayons X.
Que font les rayons X en traversant la matière ?
Interactions des rayons X avec la matière.
Connaissances à mobiliser :
Facteurs d'absorption des rayons X
Applications des rayons X.
Radioprotection.
 Aide : questions à poser.
Quelle doit être la valeur du coefficient d'absorption du matériau constituant l'écran de protection ?
De quels paramètres dépend ce coefficient ?
Quelles doivent être la masse volumique et le numéro atomique de l'élément chimique utilisé ?
13. 14 Résoudre l'exercice suivant et préciser pourquoi il ne peut pas être proposé en l'état aux élèves de terminale STL.
Loi d'atténuation d'un faisceau de rayons X.
Un faisceau parallèle de rayons X, d'intensité I0, traverse le milieu ci-dessous.

On donne les coefficients d'atténuation :
Photons de 20 keV : µair = 1,2 10-3 cm-1 ; µeau =0,7 cm-1 ; µos = 5 cm-1.
Photons de 80 keV : µair = 0,21 10-3 cm-1 ; µeau =0,18 cm-1 ; µos =0,37 cm-1.
Calculer les rapports I1 / I0 et I2 / I0 pour chaque type de photons.
I1 / I0 = exp (-µos xos- µair xair).
I2 / I0 = exp (-µos xos- µair xair- µeau xeau).
Photons de 20 keV :
I1 / I0 = exp (-5 x1- 1,2 10-3 x20)=6,6 10-3 ( ~0,7 %).
I2 / I0 = exp (-5 x1- 1,2 10-3 x17-3 x0,7)=8,1 10-4 ( ~0,08 %).
Photons de 80 keV : I1 / I0 = exp (-0,37 x1- 0,21 10-3 x20)=0,69 ( ~69 %).
I2 / I0 = exp (-0,37 x1- 0,21 10-3 x17-3 x0,18)=0,40 ( ~40 %).
Pour des élèves de terminale STL, il faut préciser :
Lorsque un rayonnement traverse un milieu, il est en partie absorbé et en partie transmis.
Itransmis = Iincident exp (-µ x).
Le coefficient de transmission est T =
Itransmis / Iincident .
µ : coefficient d'absorption du milieu et x : épaisseur traversée.
Coefficient global correspondant à plusieurs milieux : Tglobal = T1 x T2.
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.15. Comment justifier auprès d'un élève les variations du coefficient µ présentées  ?
La probabilité de rencontre entre un rayon X et une molécule ( ou atome) d'un milieu est proportionnelle aux nombre d'espèces qu'il est susceptible de rencontrer. Plus le milieu est dense, plus cette probabilité est importante.
µos > µeau > µair.
16. Quelles compétences sont développées lors de la résolution de cet exercice ?
Extr
aire, exploiter les données d'un texte et réaliser un calcul.
Les radiographies actuelles sont des images numériques codées en niveaux de gris.
17. Comment est réalisé le codage en niveaux de gris à partir du codage RVB 24 bits ?
Codage RVB 24 bits : chaque pixel est codé sur 3 octets ; chaque sous-pixel est codé sur un octet ( 8 bits).
En affectant la même valeur à chaque sous-pixels, on peut obtenir 256 nuances de gris.
Ainsi un pixel noir est codé R(0), V(0), B(0) ; un pixel blanc ( R(255), V(255), B(255).
Plus le gris est sombre, plus le nombre commun aux sous pixels est faible.
18. Justifier le nombre de nuances de gris pouvant être codées à partir du codage RVB 24 bits.
(Nrouge +Nvert +Nbleu) / 3 = (28 +28+28) / 3 = 256.
19. Pourquoi un codage en niveau de gris est-il suffisant dans le cas de la radiographie ?
256 nuances de gris permettent d'avoir une excellente finesse de contraste.
20. Quelles différences constate-t-on entre les deux images suivantes ? ( radiographie d'un bassin ; radiographie de la main d'Emma Röntgen ).

Sur le négatif, les zones situées derrière les os sont noires ( faible exposition aux RX), alors que sur le positif elles sont blanches.
 


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