Le recul d'un canon, la grosse Bertha.

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La grosse Bertha.
La « grosse Bertha » est une très grosse pièce d’artillerie allemande utilisée lors de la première guerre mondiale. Elle doit son nom à sa taille imposante et à ses 70 tonnes. Elle permettait d’envoyer un obus de mortier lourd à une distance de 9,3 km. L’obus de masse m = 700 kg était propulsé à la vitesse v = 400 m·s−1.
1. Rappeler la définition de la quantité de mouvement ainsi que le principe d’inertie.
2. Lors du tir d’un obus, on observait un recul de la « grosse Bertha » : expliquer ce phénomène avec vos connaissances en physique.
3. En déduire la valeur de la vitesse v de la grosse Bertha après le tir.

Q 12 Proposer une correction de cet exercice ainsi qu’une grille permettant une auto-évaluation, en accord avec le programme de terminale S.
Grille d'auto-évaluation.


Savoir
Niveau d'acquisition
Bon, acquis
Moyen
Non acquis
Connaître l'expression de la quantité de mouvement



Connaître l'énoncé du principe d'inertie



Connaître la loi de conservation de la quantité de mouvement



Analyser
Expliquer le principe des actions récioroques pour expliquer un phénomène



Réaliser
Etre capable d'utiliser la loi de conservation de la quantité de mouvement.



1. Le vecteur quantité de mouvement d'un solide de masse m, animé d'une vitesse v,  est égale au produit de sa masse par  le vecteur vitesse de son centre d'inertie.
Principe d'inertie : dans un référentiel galiléen, un système iolé ou pseudo-isolé, est soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme, soit immobile ( si sa vitesse initiale est nulle). La quantité de mouvement du système est constante.
2. D'après le principe des actions réciproques ( 3ème loi de Newton), si la grosse Bertha exerce une force notée FBG/obus  pour envoyer l'obus, alors l'obus exerce une force opposée, notée Fobus/ GB sur la grosse Bertha. Le canon recule donc lors du tir.
3. Le système { canon + obus } est soumis à son poids et à l'action du sol. Ces deux forces étant opposées, le système est pseudo-isolé et sa quantité de mouvement est constante.

Vrecul = 700 / 70 000 x 400 = 4 m /s.

Il s’agit maintenant d’étudier l’influence d’un tir de canon sur le mouvement d’un solide, la Terre.


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Q 13 Énoncer le théorème du moment cinétique pour un système mécanique, puis démontrer la relation 2 / 5 MR2w =mRv.
Théorème du moment cinétique : Suivant un axe donné, la dérivée du moment cinétique d'un système est égale à la somme des moments des forces appliquées sur le système.
Moment cinétique de la terre :

Moment de la force F exercée par l'obus sur la terre :

Appliquer le théorème du moment cinétique puis intégrer :


M : masse de la terre  ; R = 6400 km, rayon terrestre ; masse de l'obus m = 1,8 108 kg ; vitesse d'éjection de l'obus v = 2800 km /s ;
 w0 = 7,3 10-5 rad /s. masse volumique de la terre r = = 5670 kg m-3.
Q 14 Déterminer la valeur w de la vitesse angulaire induite par le coup de canon et la comparer à w0.
w = 5 mv / (2MR) = 5 x1,8 108 x2,8 106 /(2 x4 / 3 x3,14 x5670 x(,4 106)4) =3,16 10-17 rad / s.
Cette valeur est très inférieure à w0=7,3 10-5 rad / s. L'effet du tir est négligeable.


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Q 15 L’axe de rotation de la Terre tourne d’un angle a. Donner l’expression de a  et calculer sa valeur numérique.
a ~tan a ~w / w0 = 3,16 10-17 /(7,3 10-5) ~4,3 10-13 rad.

Q 16 À la suite d’un évènement décrit dans le roman, le savant chargé de faire les calculs commet une erreur sur la circonférence terrestre : il considère que le rayon de la Terre est R = 6400 m. Commenter la valeur de  a qu’il obtient.
Le savant fait une erreur d'un facteur 1000 sur le rayon terrestre.
Dans le calcul de w, le rayon terrestre intervient au dénominateur avec la puissance 4.
Le savant fait une erreur de (103)4 = 1012 sur w.
w' = 1012 w = 3,16 10-5 rad/s.
a' ~
3,16 10-5 /(7,3 10-5) ~0,43 rad ou environ 25°.
L'effet du coup de canon ne serait pas négligeable..


 


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