Mathématiques, Concours Advance 2018

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Exercice 1. Limites.
A Quand x tend vers 1, la limite de (x2-3x+2) / (x2+2x-3) est égale à plus l'infini. Faux.
x2-3x+2 =(x-1) (x-2) ; x2+2x-3 = (x-1)(x+3) ; (x2-3x+2) / (x2+2x-3)= (x-2) / (x+3).
Quand x tend vers 1 : le dénominateur tend vers 4 . Le numérateur tend vers -1.
La limite cherchée est donc -1 /4.
B  Quand x tend vers 1, la limite de ln(x) / (x-1) est égale à 1. Vrai.
Quans x tend vers 1 : numérateur et dénominateur tendent vers zéro.
On pose u = x-1.
Au voisinage de zéro, ln(x) =ln(u+1) est équivalent à u-u2/2.
ln(x) / (x-1) = ln(u+1) / u est équivalent  à 1-u / 2..
C Quand x tend vers zéro, la limite de (2x-1) / x2 est égale à moins l'infini. Vrai.
Le numérateur tend vers -1 et le dénominateur tend vers zéro.
D Quand x tend vers zéro, la limite de exp[ln(1+x) / x ] est égale à e.
Vrai.
Au voisinage de zéro, ln(x+1)  est équivalent à x-x2/2.
ln(1+x) / x est équivalent à 1-x / 2.
E Quand x tend vers zéro, la limite de (1+x)1/x est égale à 1. Faux.
Prendre le logarithme de l'exppression : A=  ln(1+x) / x.
Au voisinage de zéro, ln(x+1)  est équivalent à x-x2/2.
ln(1+x) / x est équivalent à 1-x / 2.
 A tend vers 1 quand x tend vers zéro et
(1+x)1/x tend vers e.

Exercice 2. Dérivées.
A  Si f(x) = -3x4 +2x2 +1 alors f '(x) = -12x3 +4x+1.
Faux.
f '(x) = -12x3 +4x.
B Si f(x) = 2x3 +x + 4 / x2 alors f '(x) =6x2 +1+4/x3. Faux.
La dérivée de 4 x-2 est : 4 (-2) x-3 = -8 /x3.
C Si f(x) = (x2+x-1) / (x+1) alors f '(x) = (x2+2x+2) / (x+1)2. Vrai.
On pose u = x2+x-1 et v = x+1 ; u' = 2x+1 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 = [(2x+1)(x+1)-(x2+x-1) } /
(x+1)2 = (x2 +2x+2) / (x+1)2 .
D Si f(x)=ln(x) // ex alors f '(x) = (1-x ln(x)) /(xex).
On pose u = ln(x) et v = ex , u' = 1 /x et v' =ex.
Vrai.
(u'v-v'u) / v2 =[ex/x- exln(x) ] / e2x=(1 /x -ln(x) ) / ex = (1-x ln(x)) /(xex).
E Si f(x) = cos2(x) alors f '(x) = - sin (2x) . Vrai.
On pose u = cos (x) ; u' = -sin(x) ; f '(x) =2 u u' = -2 cos (x) sin(x) = - 2 sin(2x).

Exercice 3. Fonction.
Soit f la fonction dérivable sur ]0 ; +oo[ définie par f(x) = x-ln(x2). On donne ln(2) ~0,69.
A Quand x tend vers  zéro par valeur positive, f(x) tend vers plus l'infini. Vrai.
ln(x2) tend vers moins l'infini et -ln(x2) tend vers plus l'infini.
B  Quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers plus l'infini.
Vrai.
C f(x) est croissante sur ]0 ; +oo[  Faux.
On pose u = x2 ; dérivée de ln(u) = u' / u = 2x / x2 = 2 /x ; f '(x) = 1 -2 / x ;
 f '(x) s'annule pour x = 2 ; f '(x) est positive si x >2 et négative si x < 2.
f(x) est décroissante sur ]0 ; 2 [ et croissante sur ]2 ; + oo[.
D f '(1) = 0. Faux.
f '(1) = 1-2 = -1.
E Pour tout x de ]0 ; 2[, f(x) est positive. Vrai.
f(x) décroît de plus l'infini à f(2) = 2-ln(4) = 2-2 ln(2) ~2(1-0,69)=0,62, puis croît de0,62 à plus l'infini.


 


Exercice 4. Fonction.
Soit f la fonction dérivable sur ]0 ; +oo[ définie par f(x) = exp(x+ln(x)).
A f(1) = e. Vrai.
f(1) = exp(1 +ln(1) = exp(1+0) = e.
B Pour tout x de
]0 ; +oo[ , f(x) = ex+x. Faux.
f(x) = exp(x) * exp(ln(x)) = ex x.
C f(x) est croissante sur ]0 ; +oo[. Vrai.
On pose u = ex et v = x ; u' = ex ; v' = 1 ; u'v +v'u = ex(x+1) >0.
D Pour tout x de
]0 ; +oo[, f '(x) = ex(x+1). Vrai.
E  Quand x  tend vers zéro par valeuur positive, f(x) tend vers 1.. Faux.
ex tend vers 1 et x tend vers zéro ; xex tend vers zéro.

Exercice 5. Fonction.
Soit f la fonction dérivable sur R-{0} définie par f(x) = (ex-3) / (ex-1).
A Quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers 1. Vrai.
Mettre ex en facteur au numérateur et au dénominateur puis simplifier.
f(x) = (1-3 / ex) / (1-1/ex) ; 1/ex tend vers zéro et f(x) tend vers 1. Faux.
B 
Quand x tend vers moins l'infini, f(x) tend vers 1.
Quand x tend vers moins l'infini ex tend vers zéro et f(x) tend vers  3.
C Quand x tend vers zéro par valeur positive, f(x) tend vers moins l'infini. Vrai.
ex tend vers 1 ;
(ex-3) tend vers -3 ; (ex-1) tend vers 0 par valeur positive ; f(x) tend vers moins l'infini.
D f '(x) = 2 /(ex-1)2. Faux.
On pose u = ex-3 et v = ex-1 ; u' = ex ; v' = ex ; (u'v-v'u) / v2 =ex( ex-1-ex+3) /
(ex-1)2 = 2ex /(ex-1)2.
E f est croissante sur ]0 ; +oo[. Vrai.
Sur ]0 ; +oo[, f '(x) est positive.

Exercice 6. Soit f une fonction définie sur R. On considère que les 3 énoncés suivants sont vrais :
P1 : Si f(0) =1 et f(1) diffère de 2 alors f(2) =3
P2 : Si f(2) =3 ou f(3) diffère de 4 alors f(0) diffère de 1
P3 : Si f(1) =2 alors f(3) diffère de 4
(A) P2 est équivalent à :Si f(0) =1 alors f(2) diffère de 3 ou f(3) =4. Faux.
P2 est équivalent à:Si f(0) =1 alors f(2) diffère de 3 et f(3) =4.
(B) Si f(0) =1 alors f(2) diffère de 3. Vrai.
(C) On peut avoir f(0) =1 et f(1)diffère de 2. Faux.
(D) On peut avoir f(0) =1 et f(1) =2. Faux.
(E) On peut affirmer  que f(0) diffère de 1.Vrai.







Exercice 7.
q est réel et n  est entier.



Exercice 8. Suite.
Soit (un) définie par u0 >0 et pour tout entier n par un+1 = un exp(-un).
A Cette suite est géométrique. Faux.
B Cette suite est croissante. Faux.
un+1 -un= un (exp(-un)-1) avec un >0 et exp(-un)-1 < 0.
C Pour tout entier n, un+1 / un < 1. Vrai.
un+1 / un = exp(-un) avecc un > 0.
D Quand n tend vers plus l'infini, un tend vers 1. Faux.
E
Quand n tend vers plus l'infini, un tend vers  0. Vrai.
Le terme
exp(-un) tend vers zéro.

Exercice 9. Primitives.



Exercice 10. Nombres complexes.
Pour un nombre complexe z, Re(z) désigne sa partie réelle, Im(z) sa partie imaginaire.
Soit S l'ensemble des solutions de l'équation complexe: z + |z| = 1+2i.
On pose z = x+iy ; |z| = (x2+y2)½ ;
z + |z| =x +(x2+y2)½ + iy = 1 +2i.
On identifie 1 =
x +(x2+y2)½ et y = 2.
1 =x +
(x2+4)½  ; (1-x)2 = x2 +4 ; 1-2x+x2 = x2+4 ; x = -1,5.
z = -1,5 +2i ; |z| = 2,5.
(A) Si z appartient à S alors z n'est pas un réel. Vrai.
(B) Si z appartient à S alors Im(z) =2.
Vrai.
(C) Si z appartient à S alors |z| > 2.  Vrai.
(D) Si z appartient à S alors Re(z) > -1. Faux.
(E) S ={-1+2i}. Faux.

Exercice 11. Nombres complexes.

Exercice 12. Géométrie
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les points I(3;-2; 2); J(6; 1; 5); K(6;-2;-1) et L(0; 4;-1).
(A)

(B) Le triangle (IJK) est rectangle.
Vrai.
(C) KL2 = KI2 + IL2. Vrai.
KL2 =(-6)2 +62 +02 =72.
 
KI2 =(-3)2 +02 +32 =18.
IL2 =(-3)2 +62 +(-3)2 =54.
(D) Le triangle (IKL) est rectangle. Vrai
(E) Le triangle (IJL) est rectangle. Vrai
JL2 =(-6)2 +32 +(-6)2 =81.
 
JI2 =(3)2 +32 +32 =27.
IL2 =(-3)2 +62 +(-3)2=54.
JL2 = JI2 +IL2.

Exercice 13. Loi xponentielle.
La durée de vie, en années, d'un composant électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre l >0. On note f la fonction de densité associée à T et on rappelle que pour tout t > 0 f(t) =l exp(-lt).
(A) P(T < 5) =l(1-exp(-5l)). Faux.
P(T < 5) =1-exp(-5l)
(B) Si P(T < 5) =0; 9 alors l = ln(10) / 5. Vrai.
1-exp(-5l) =0,9 ; 0,1 = exp(-5l) ; ln(0,1) -ln(10)= -5 l ;
(C) La probabilité que le composant ne fonctionne plus au bout de 5 ans,sachant qu'il fonctionne depuis 2 ans, est P(2 < T < 5). Faux.
La loi exponentielle est sans mémoire.
(D) La probabilité que le composant ait une durée de vie supérieure à 5 ans,sachant qu'il fonctionne depuis 2 ans,est P(T > 5) / P(T > 2). Faux.
(E) Si l'espérancede T est 5 alors  l= 5. Faux.
 l = 1 / 5 = 0,2.

Exercice 14. Algorthme.
Soit la fonction f(x) = x3 - 3x + 1, qui a 3 racines réelles dans ]-2; 2[ dont une seule dans ]1; 2[.
On note a la racine dans ]1; 2[. Pour avoir une valeur approchée de a on utilise l'algorithme suivant:
Entrées : Donner les valeurs de a ; b ;N
Variables: x réel, i entier
Traitement:Pour i allant de 1 à N
x   <-- a -(b-a) / [ f(b)-f(a)] f(a)
Si f(a) f(x) > 0
a <--   x
Sinon
b <--  x
Fin Si
Fin Pour
Sortie : Afficher x
(A) L'algorithme est basé sur le théorème des valeurs intermédiaires. Vrai.
(B) Dans l'algorithme, x est l'abscisse du point intersection d'une droite avec l'axe des abscisses. Vrai.
(C) Pourobtenir une valeur approchée de a, on peut donner en entrées pour a et b : a = 0 et b = 2. Faux.
(D) Les entrées (a=1 ; b=2 ; N=10 ) et
(a=2 ; b=1 ; N=10 ) donneront la même sortie. Vrai.
(E) On peut remplacer la boucle Pour i allant de1 à N  par une boucle conditionnelle Tant que (b-a) > 10-N. Vrai.