Equation différentielle, étude de fonctions, BTS groupe C 2018

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Exercice 1 ( 10 points).
 
La production électrique éolienne est en fort développement.
Partie 1. Modèle statistique.
Le Grenelle de l'environnemen a fixé pour 2020 l'objectif suivant : 10 % de notre électricité doit être fournie par l'énergie éolienne, soit une puissance de 25 GW. On veut étudier si la progression actuelle permettra de réaliser cet objectif.
Année
2010
2011
2012
2013
20145
2015
2016
Rang de l'année xi
1
2
3
4
5
6
7
Puissance (GW) yi
5,76
6,71
7,54
8,15
9,31
10,3
10,85

En admettant que la progression se confirme, étudier si l'objetif peut être atteint.
En 2020, x = 11 ; y = 0,866 x11 +4,91 = 14,43 GW.
Cette valeur est inférieure à 25 GW, l'objectif n'est pas atteint.

Partie2. Modèlisation de la puissance d'une éolienne.
Un parc éolien est constitué de 6 éoliennes de même type. Ces éoliennes possèdent 3 pales et ont un diamètre de 100 m. Les pales commencent à tourner lorsque le vent atteint une vitesse de  3 m /s.
1. Lorsque l'éolienne atteint son plein régime, ses pales effectuent 16 tours par minute. Quelle est la vitesse en km / h à l'extrémité de la pale ?
16 / 60 = 4 / 15 tour /s soit  4 / 15 x3,14x2 = 1,675 rad /s.
Vitesse à l'extrémité de la pale : 1,675 x 50 ~83,8 m /s ou 83,8 x3,6 = 301,6 km / h.
2. La puissance P( kW) d'une éolienne , en fonction de la vitesse v du vent ( m /s)est modélisée par la fonction P définie sur [3 ; +oo[ par :
P(v) = -55 +5110 / (2 +750 e-0,75v).
On donne :
f(x)=1 / (2 +750 e-0,75x) ; la fonction dérivée f '(x) = 562,5 e-0,75 x / (2 +750 e-0,75x)2.
Intégration de P(v) entre 5 et 12 : 9872,1.
a. Calculer la puissance d'une éolienne si v = 3 m /s.
P(3) = -55 +5110 / (2 +750 e-2,25)~8,05 kW.
b. Etudier les variations de P(v) sur [3 ; +oo[.
f '(x) = 562,5 e-0,75 x / (2 +750 e-0,75x)2.
e-0,75 x et  (2 +750 e-0,75x)2 sont positifs sur cet intervalle.
Donc P(v) est strictement croissante sur 
[3 ; +oo[.
Quand  v tend vers plus l'infini,
e-0,75v tend vers zéro et P(v) tend vers : -55 +5110 /2 =2500 kW.
En réalité une éolienne ne fonctionne plus au delà d'une certaine vitesse du vent appelée vitesse de coupure. (  20 m / s dans ce cas).

c. Calculer la puissance d'une éolienne quand la vitesse de coupure est atteinte.
P(20) = -55 +5110 / (2 +750 e-15)=2499,7 kW.
d. Déterminer en m/s, à l'unité près, la vitesse du vent à partir de laquelle la puissance d'une éolienne est supérieure à 2000 kW.
2000 = -55 +5110 / (2 +750 e-0,75 v) ;
2055  =
5110 / (2 +750 e-0,75 v) ;
2 +750 e-0,75 v=5110 / 2055~2,487.
e-0,75 v=(2,487 -2) / 750 ~6,488 10-4 ;
-0,75 v = ln(
6,488 10-4 ) ~ -7,34
v = 9,78 ; v doit être supérieur ou égal à 10 m /s.




 


3.a. Calculer la puissance moyenne d'une éolienne lorsque la vitesse du vent varie entre 5 et 12 m /s.
Pmoy = Intégrale de P(v) entre 5 et 12  divisé par (12-5 )= 9872,1 / 7 ~1410,3 kW.
3.b. Estimer le nombre d'éoliennes de ce type nécessaire pour atteindre une production totale de 1000 MW.
Une éolienne produit en moyenne 1,41 MW.
Nombre d'éoliennes : 1000 / 1,41 ~709.








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