Probabilités, BTS groupe B 2018

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Exercice 2 ( 10 points).
 
On s'intéresse à l'obsolescence programmée de certains modèles de smarphone.
A. Probabilités conditionnelles.
Une association de consommateurs a observé deux types d'obsolescence programmée sur une population de 200 smarphones.
La première est l'obsolescence technique, lorsqu'un composant tombe en panne et ne peut être remplacé. Cela concerne 3 % des smarphones.
La seconde est l'obsolescence logicielle quand un produit est trop vieux pour être mis à jour. Cela concerne 8 % des smarphones étudiés.
De plus parmi les smarphones touchés par l'obsolescence logicielle, on compte 12,5 % des smarphones également touchés par l'obsolescence technique.
1. Compléter le tableau d'effectifs  ci-dessous.
Smarphones
touchés par l'obsolescence logicielle  non touchés par l'obsolescence logicielle Total
touchés par l'obsolescence technique 16x0,125=2
4
0,03 x200 = 6
non touchés par l'obsolescence technique 14
180
200-6 = 194
Total
200 x0,08 = 16
184
200

2. On prélève au hasard un smarphone parmi les 200 étudiés.
On note T l'événement " le smarphone est touché par l'obsolescence technique" et L l'événement " le smarphone est touché par l'obsolescence logicielle".
Donner les probabilités P(T), P(L) et PL(T).
P(T) = 0,03 ; P(L) = 0,08 ;
PL(T)=2 / 16 = 0,125.
3. Calculer les probabilités suivantes.
P(T n L) = 2 / 200 = 0,01.
P(T u L) =P(T) +P(L) -
P(T n L)=0,03+0,08-0,01 =0,10.
PT(L) = P(T n L) / P(T) = 0,01 /0,03 = 1 / 3.

B. Loi binomiale.
On s'intéresse à un modèle précis de smarphone appelé modèle A. On considère le stock de smarphones de modèle A tombés en panne et revenus au service après vente d'une société. Dans ce stock, 4,5 % ne sont pas réparables ( la panne est due à un composant non remplaçable).
On prélève un lot de 50 smarphones dans ce stock. On suppose le stock suffisamment important pour assimilé ce prélèvement  à des tirages avec remise. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 50 smarphones ansi prélévé, associe le nombre de smarphones non réparables dans ce lot.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres..
Les 50 tirages sont identiques, aléatoires,  indépendants. Il y a toujours deux issues possibles : X :" non réparable "ou réparablee.
p(X) = 0,045.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 50, p = 0,045.

2.. Calculer la probabilité que dans ce lot tous les smarphones soient réparables.
p(X=0) =(1-0,045)50=0,1.
3. On considère l'algorithme suivant. On note binom(n, p, i ) la fonction permettant de calculer p(X = i) lorsque X suit la loi binmiale de paramètres n et p.
n<-- 50
p<--0,045
S<--0
Pour i allant de 0 à 3
S<-- S +binom(n,
p, i)
Fin pour

a. Faire tourner à la main cet algorithme, puis compléter le tableau suivant.
i
0
1
2
3
p(X=i)
0,1
0,236
0,272
0,205
S
0,1
0,336
0,608
0,813

b Quelle est la valeur de S à la fin de l'algorithme ? Interpréter.
S =p(X < 3) = 0,813
4. Calculer l'espérance de X et interpréter.
µ = np = 50 x0,045 = 2,25.
Dans un lot de 50 smarphones, on a, en moyenne, 2,25 smarphones non réparables.




 


C. Test d'hypothèse.
D'après un sondage 55 % des français pensent que la marque B pratique l'obsolescence programmée.
La marque B décide de vérifier ce résultat en organisant une enquète sur un échantillon aléatoire de 180 personnes et en construisant un test d'hypothèse bilatéral pour valider ou invalider le résultat du sondage.
On note F la variable aléatoire qui, à tout échantillon  aléatoire de 180 personnes, associe la fréquence des personnes déclarant que la marque B pratique l'obsolescence programmée. On suppose que F suit la loi normale de moyenne p inconnue et d'écart type [p(1-p) / 180]½.
L'hypothèse nulle est H0 : "p = 0,55".
L'hypothèse alternative est H1 : " p diffère de 0,55".
1. Cette question est un QCM.
On admet que sous l'hypothèse H0, la variable aléatoire F suit la loi normale de moyenne 0,55 et d'écart type 0,037.
Soit h le réel positif, tel que, sous l'hypothèse H0, P(0,55-h) < F < 0,55 +h)= 0,95.
La valeur approchée de h est : 0,05 ; 0,06 ; 0,07.(exact).
h = 1,96 x écart type = 1,96 x 0,037 ~0,07.
P(0,48) < F < 0,62)= 0,95.
2. Enoncer la règle de décision du test.
Dans un échantillon de 180 personnes, si la fréquence des personnes qui déclarent " B pratique l'obsolescence" appartient à [0,48 ; 0,62 ], l'hypothèse H0 est retenue  avec un niveau de confiance de 95 %. Sinon H1 est retenue.
3. Sur l'échantillon de 180 personnes interrogées, 76 pensent que B pratique l'obsolescence programmée. Quelle est la conclusion du test ?
76 / 180 = 0,42.
Cette valeur est en dehors de l'intervalle
[0,48 ; 0,62 ], H0 est rejetée avec un risque de 5 %. Le résultat du sondage n'est pas validé..







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