Mathématiques, Brevet Métropole 2018

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Exercice 1.
Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski. Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur.
1. Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud.
Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.

Longitude : 130° Est ; latitude :35° Nord.
2.
  On considère que ce globe est composé d’un cylindre en cristal de diamètre 6 cm, surmonté d’une boule de cristal. Montrer qu’une valeur
approchée du volume de la boule de ce trophée est de 6 371 cm3.

V = 4 / 3 p R3 avec R = 11,5 cm.
V = 4 / 3 x3,14 x11,53 ~
6 371 cm3.
3. Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ 90% du volume total du trophée. A-t-elle raison ?
Volume du cylindre : pr2h avec r = 3 cm.
3,14 x 32 x23 ~ 650 cm3.
Volume total : 6371 +650 = 7021 cm3.
La boule représennte  6371 / 7021 ~0,907 ( 90,7 %) du volume total.
Elle a raison.

Exercice 2 .
Parmi les nombreux polluants de l’air, les particules fines sont régulièrement surveillées.
Les PM10 sont des particules fines dont le diamètre est inférieur à 0,01 mm.
En janvier 2017, les villes de Lyon et Grenoble ont connu un épisode de pollution aux particules fines.
Voici des données concernant la période du 16 au 25 janvier 2017 :

1.  Laquelle de ces deux villes a eu la plus forte concentration moyenne en PM10 entre le 16 et le 25 janvier ?
A Grenoble, la moyenne est égale à : (32 +39 +52 +57 +78 +63 +60 +82 +82 +89) / 10 = 63,4 µg m-3.
La ville de Lyon a eu la plus forte concentration en particules PM10.
2. Calculer l’étendue des séries des relevés en PM10 à Lyon et à Grenoble. Laquelle de ces deux villes a eu l’étendue la plus importante ?
Interpréter ce dernier résultat.
Lyon : 107-22 = 85
µg m-3.
Grenoble : 89-32 =
57 µg m-3.
La ville de Lyon
a eu l’étendue la plus importante.
3. L’affirmation suivante est-elle exacte? Justifier votre réponse.
« Du 16 au 25 janvier, le seuil d’alerte de 80 μg/m3 par jour a été dépassé au moins 5 fois à Lyon ».

La médiane  est égale à 83,5
μg/m3.
La série possède 10 valeurs ; 5 valeurs sont supérieures à
83,5 μg/m3. l'affirmation est exacte.

Exercice 3.
Dans son lecteur audio, Théo a téléchargé 375 morceaux de musique. Parmi eux, il y a 125 morceaux de rap. Il appuie sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d’écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles.
1. Quelle est la probabilité qu’il écoute du  ?
125 / 375 = 1 / 3 ~0,33.
2. La probabilité qu’il écoute du rock est égale à 7 / 15 .
Combien Théo a-t-il de morceaux de rock dans son lecteur audio ?
7 / 15 x375 = 175.
3. Alice possède 40% de morceaux de rock dans son lecteur audio.
Si Théo et Alice appuient tous les deux sur la touche « lecture aléatoire » de leur lecteur audio, lequel a le plus de chances d’écouter un morceau de rock ?
Théo : 7 / 15 ~0,467 ( 46,7 %), valeur supérieure à 40 %.
Théo
a le plus de chances d’écouter un morceau de rock.



 


Exercice 4.
La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.
Les points C, B et E sont alignés.
Le triangle ABC est rectangle en A.
Le triangle BDC est rectangle en B.

1. Montrer que la longueur BD est égale à 4 cm.
Dans le triangle rectangle BDC : CD2 = BC2 +BD2 ;
BD2 =8,52 -7,52 = 16 ; BD = 4 cm.
2. Montrer que les triangles CBD et BFE sont semblables.
Les mesures des cotés de deux triangles semblables sont proportionnelles.
BD / FE = 4 / 3,2 = 1,25.
BC / BF = 7,5 / 6=1,25.
CD / BE = 8,5 / 6,8 = 1,25.
Les triangles CBD et BFE sont semblables.
3. Sophie affirme que l’angle BFE est un angle droit. A-t-elle raison ?
Les triangles CBD et BFE sont semblables et le triangle CBD est rectangle en B. Donc le triangle BFE est rectangle en F. Elle a raison.
4. Max affirme que l’angle ACD est un angle droit. A-t-il raison?
tan a = BD / BC = 4 / 7,5 ~0,533 ; a ~28 °.
61 + 28 = 89°, valeur différente de 90°.
L’angle ACD n'est pas un angle droit.

Exercice 5.
Voici un programme de calcul
• Choisir un nombre
• Multiplier ce nombre par 4
• Ajouter 8
• Multiplier le résultat par 2
1. Vérifier que si on choisit le nombre −1, ce programme donne 8 comme résultat final.
(-1 x4 +8) x2= (-4+8)x2 = 4 x2 = 8.
2. Le programme donne 30 comme résultat final, quel est le nombre choisi au départ ?
Soit x le nombre choisi : (4x+8)*2=30.
4x+8 = 15 ; 4x = 15-8 = 7 ; x = 7 /4 = 1,75
Dans la suite de l’exercice, on nomme x le nombre choisi au départ.
3. L’expression A = 2(4x+8) donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre x donné.
On pose B = (4+x)2 −x2.
Prouver que les expressions A et B sont égales pour toutes les valeurs de x.
B = (4+x-x)(4+x+x) = 4(4+2x) = 2(8+4x)= A.
4. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.
• Affirmation 1 : Ce programme donne un résultat positif pour toutes les valeurs de x. Faux.
Le résultat a le signe de 8 +4x.
8 +4x >0 si x > - 2 ; 8 +4x < 0 si x < -2.
• Affirmation 2 : Si le nombre x choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de 8. Vrai.
A = 8(2+x). si x est entier, A est un multiple de 8.






Exercice 6.
Les longueurs sont en pixels.
L’expression « s’orienter à 90 » signifie que l’on s’oriente vers la droite.
On donne le programme suivant :

1. On prend comme échelle 1 cm pour 50 pixels.
a. Représenter sur votre copie la figure obtenue si le programme est exécuté jusqu’à la ligne 7 comprise.

b. Quelles sont les coordonnées du stylo après l’exécution de la ligne 8 ?
x = 300 / 6 = 50 ; y = 0.
2. On exécute le programme complet et on obtient la figure ci-dessous qui possède un axe de symétrie vertical.

Recopier et compléter la ligne 9 du programme pour obtenir cette figure.
Mettre longueur à 200.
3. a. Parmi les transformations suivantes, translation, homothétie, rotation, symétrie axiale, quelle est la transformation géométrique qui permet d’obtenir le petit carré à partir du grand carré? Préciser le rapport de réduction.
Homothétie de rapport 2 /3.
b. Quel est le rapport des aires entre les deux carrés dessinés ?
(2 /3)2 = 4 / 9.

Exercice 7.
Le « hand-spinner » est une sorte de toupie plate qui tourne sur elle-même.
On donne au « hand-spinner » une vitesse de rotation initiale au temps t = 0, puis, au cours du temps, sa vitesse de rotation diminue
jusqu’à l’arrêt complet du « hand-spinner ». Sa vitesse de rotation est alors égale à 0.
Grâce à un appareil de mesure, on a relevé la vitesse de rotation exprimée en nombre de tours par seconde.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté cette vitesse en fonction du temps exprimé en seconde :

1. Le temps et la vitesse de rotation du « hand-spinner » sont-ils proportionnels ? Justifier.
Non, la droite ne passe pas par l'origine.
2. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
a. Quelle est la vitesse de rotation initiale du « hand-spinner » (en nombre de tours par seconde) ?
20 tours / seconde.
b. Quelle est la vitesse de rotation du « hand-spinner » (en nombre de tours par seconde) au bout d’une minute et vingt secondes ?
3 tours / seconde.
c. Au bout de combien de temps, le « hand-spinner » va-t-il s’arrêter ?
93 secondes.
3. Pour calculer la vitesse de rotation du « hand-spinner » en fonction du temps t , notée V (t ), on utilise la fonction suivante :
V (t ) = −0,214×t +Vinitiale.
• t est le temps (exprimé en s) qui s’est écoulé depuis le début de rotation du « hand-spinner » ;
• Vinitiale est la vitesse de rotation à laquelle on a lancé le « hand-spinner » au départ.
a. On lance le « hand-spinner » à une vitesse initiale de 20 tours par seconde. Sa vitesse de rotation est donc donnée par la formule :
V (t ) = −0,214×t +20.
Calculer sa vitesse de rotation au bout de 30 s.
V(30) = -0,214 x30 +20 = 13,58 tours / seconde.
b. Au bout de combien de temps le hand-spinner va-t-il s’arrêter ? Justifier par un calcul.
0 = -0,214 y +20 ; 0,214 t = 20 ; t = 20 / 0,214 ~93,5 s.
c. Est-il vrai que, d’une manière générale, si l’on fait tourner le hand-spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps ? Justifier.
t = Vinitiale / 0,214.
Si la vitesse initiale double, la durée de la rotation double. C'est donc vrai.