Mathématiques, probabilités, fonctions, Bac S Amérique du Nord 2018

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Exercice 1.  ( 6 pts).
Partie A.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2.
1.  On note g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + oo[ par  g(t) = 0,2t e-0,2t.
On définit la fonction G sur ce même intervalle par G(t) = (-t-5) e-0,2t.
Vérifier que G est une primitive de g.
On pose u = -t-5 et v = e-0,2t ; u' = -1 ; v' = -0,2e-0,2t.
u'v + v'u = -
e-0,2t -0,2(-t-5)e-0,2t=0,2t) e-0,2t= g(t).
2. En déduire que la valeur exacte de E(X) est 5.

(-x-5) e-0,2x tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini.
Partie B.
On modélise la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasad par une variable aléatoire T.
Cette variable suit une loi normale d'eespérance 40 minutes et d'écart type positif s. On estime que P( T <10) = 0,067.
1. Déterminer la valeur de l'écart type à la minute près.
On pose Y = (T-40) / s. Y suit la loi normale centrée réduite.
P
(T-40) < -30)=0,067 ; P(T-40) / s < -30 / s)=0,067 ; P(Y < -30 / s)=0,067 ;
La calculatrice conduit à :
-30 / s = -1,476. s ~ 20.
2. Dans cette question, on prend s = 20 minutes. Quelle est la proportion de clients qui passent plus d'une heure dans la supermarché ?
P(T > 60) = 1 -P(T < 60) = 1-0,841 =0,159. ( 15,9 %).

Partie C.
Les clients peuvent utiliser les bornes automatiques de paiement ou bien les caisses gérées par un opérateur.
1. La durée d'attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire  qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2 min-1.
a. Donner la durée moyenne d'attente d'un client à cette borne.
1 / 0,2 = 5 minutes.
b. Calculer la probabilité que cette durée d'attente soit supérieure à 10 minutes.
exp(-0,2 x10) = e-2 ~0,135.
2. L'étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :
- parmi les clients ayant choisi une borne automatique, 86 % attendent moins de 10 minutes ;
- parmi les clients passant en caisse, 63 % attendent moins de 10 minutes.
On choisit un client au hasard et on définit les événements suivants :
B : le client paye à la borne automatique.
non B : le client paye à une caisse avec opérateur.
S : la durée d'attente est de moins de 10 minutes.
Le gérant souhaite que 75 % des clients attendent moins de 10 minutes.
Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?


Partie D.
Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de 10 € d'achats. les cartes gagnantes représentent 0,5 % de l'ensemble du stock de cartes. Ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une acrte à un tirage avec remise.
1. Un client effectue des achats pour un montant de 15
8,02 €
Quelle est la probabilité, arrondie à 0,01,  qu'il obtiennent au moins une carte gagnante ?
Le client possède 15 cartes.
On note X la variable aléatoire comptant le nombre de cartes gagnantes.
Les 15 tirages sont identiques, aléatoires,  indépendants. Il y a toujours deux issues possibles : G :" carte gagnante "ou carte non gagnante.
p(G) = 0,005.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 15, p = 0,005.
p(X >1 )= 1-p(X=0) = 1-0,9275 ~0,07.
2. A partir de quel montant d'achat, arrondi à 10 €, la probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à 50 % ?
p(X >1 )= 1-p(X=0) =0,50.
p(X=0) = 0,5 = (1-0,005)n = 0,995n.
ln (0,5) = n ln(0,995) ; n = 138,3 soit 139 carte.
Minimum d'achat : 1390 €.





 


Exercice 2 (4 pts).
On lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir q par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,6 m. On modèlise le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 1 [ par :f(x) = bx +2 ln(1-x).
b est un paramètre réel supérieur ou égal à 2, x est l'abscisse du projectile et f(x) son ordonnée.
  1. On admet que f possède un maximum sur cet intervalle et que f '(x) = (-bx+b-2) / (1-x)

Montrer que le maximum de la fonction f est égal à b-2 +2 ln(2 / b).
La dérivée s'annule pour-bx+b-2=0 soit x = 1-2/b.
f(1-2 / b) = b-2+2 ln(2 / b).
2. Déterminer pour quelles valeurs de b, la hauteur maximale atteinte ne dépasse pas 1,6 m.
Soit g(x) = x-2 +2 ln(2 /x) = x-2+2ln(x/2) sur l'intervalle [2 ; +oo[.
g(x) ( somme de fonctions dérivables ) est dérivable sur cet intervalle.
g'(x) = 1-2 /x = (x-2) / x.
g(x) est continue, car dérivable, et strictement croissante sur cet intervalle.
g(2) = 0, valeur inférieure à 1,6.
g(x) = x [1-2 / x -2 / x ln(x / 2)]
Quand x tend vers l'infini :
2/x tend vers zéro ; on pose X = 2 /x : or X ln X tend vers zéro  ; par suite g(x) tend vers plus l'infini.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x) = 1,6 admet une unique solution, notée a, sur [2 ; +oo[.
Quand b appartient à [2 ; a], la hauteur maximale ne dépasse pas 1,6 m.
3. On choisit b = 5,69.
3. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle q.

Coefficient directeur de la tangente à l'origine : f '(0) = b-2=3,69.
tang q = 3,69 ; q = 74,8 °.