Vol au dessus des montagnes, bac S Amérique du sud 2018.

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Depuis 2009 la station d’Orcières, située dans les Hautes Alpes, propose une tyrolienne constituée d’un câble tendu entre le sommet du Drouvet (altitude : 2655 m) et le lac Long (altitude : 2500 m). La longueur de ce cable est ℓ = 1870 mètres.
« Solidement harnaché et suspendu à un baudrier, on parcourt la distance le corps à l’horizontale, tête en avant, en environ 1 minute 30. La vitesse de croisière est d'environ 130 km/h avec des pointes à 140 !
Une impression de vol extraordinaire... » http://www.latyrolienne.fr

Dans cet exercice on se propose d’étudier le mouvement le long du parcours pour en dégager quelques caractéristiques et les comparer avec les valeurs annoncées sur le site internet de la tyrolienne.
Le système étudié, de masse m, constitué par l’homme et son équipement, quitte le sommet D sans vitesse initiale et arrive au point L avec une vitesse nulle.
Données
Intensité de la pesanteur terrestre : g = 9,81 m.s–2.
Masse du système (homme et son équipement) : m = 80 kg
1. Calculer la valeur de la vitesse moyenne durant le vol et la comparer à la valeur de la "vitesse de croisière" annoncée.
Vitesse moyenne ( m / s) =distance (m) / durée (s) = 1870 / 90 =20,78 m /s. Soit 20,78 x3,6 ~75 km / h.
La vitesse moyenne est très inférieure à la vitesse de croisière annoncée.
2. Sur le document réponse à rendre avec la copie, représenter le point M dont l’altitude est minimale. Déterminer graphiquement l’altitude zM du point M.

3. Le niveau de la mer, d'altitude 0, est choisi comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur. Donner les expressions des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique du système étudié en fonction de la masse m, de l’altitude z, de la vitesse v du système ainsi que de l’intensité de la pesanteur terrestre g.
Energie cinétique Ec = ½mv2.
Energie potentielle de pesanteur : Epp = mg z.
Energie mécanique :
½mv2 + mgz.
4. L’énergie mécanique se conserve-t-elle au cours du mouvement ? Justifier la réponse.
Du fait des frottements sur les couches d'air, l'énergie mécanique du système ne se conserve pas. Elle diminue du travail des frottements.
5. Citer les transferts énergétiques qui ont lieu au cours du mouvement entre D et M, puis entre M et L.
Entre D et M, l'énergie potentielle initiale est convertie partiellement en énergie cinétique et en énergie thermique ( frottements).
Entre M et L, la majeur partie de l'énergie cinétique est convertie en énergie potentielle et en énergie thermique.


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On considère que le système est soumis aux interactions et actions modélisées par les forces suivantes :
 l’action R du câble de direction toujours perpendiculaire au câble ;
 le poids P ;
 les forces de frottement égales à une résultante f , de sens opposé à celui du vecteur vitesse v .
6. Sur le document réponse à rendre avec la copie, schématiser, sans souci d’échelle, ces trois forces exercées sur le système lors de son passage au point N.

7. Sur le document réponse à rendre avec la copie, compléter le tableau en indiquant si le travail de chacune de ces 3 forces est positif, négatif ou nul. Justifierles réponses sur la copie.


Trajet entre D et M
Trajet entre M et L

Travail du poids
Positif en descente : mg (zD-zM)
Négatif en montée : mg (zM-zL)
Travail de l'action du câble
nul, R est constamment perpendiculaire à la vitesse

Travail des frottements
négatif, cette force est colinéaire à la vitesse et de sens contraire

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Afin de déterminer quelques caractéristiques des forces exercées, on étudie la situation à l’aide de deux modèles.
Modèle 1 : un premier modèle consiste à négliger les forces de frottement devant les autres forces.
8. En appliquant le principe de conservation de l’énergie mécanique entre les points D et M, déterminer la vitesse atteinte au point M et la comparer avec la vitesse de
pointe annoncée dans le texte de présentation. Conclure sur la validité du modèle 1.
L'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle : mg zD.
L'énergie mécanique en M est sous forme cinétique et potentielle : ½mv2 + mg z M.
L'énergie mécanique se conserve : mg zD =½mv2 + mg z M.
g (zD -zM) =½v2  ; v = (2g (zD -zM))½ =  (2 x9,81 (2655 - 2360))½ ~ 76,0 m /s ( 76 x3,6 ~ 274 km/h).
Cette valeur est deux fois plus élevée que la vitesse de pointe annoncée. Ce modèle n'est pas valide.
Modèle 2 : on suppose, dans ce modèle, que la résultante des forces de frottement garde une intensité f constante au cours du mouvement. Son travail sur la totalité du
parcours ne dépend alors que de son intensité et de la longueur ℓ du câble.
9. Par une étude énergétique, estimer la valeur de la résultante des forces de frottement.
Energie mécanique initiale : mg zD =80 x9,81 x2655 ~2,08 106 J.
 Energie mécanique finale : mg zL + ½mv2.
Pour éviter des accidents, la vitesse à l'arrivée doit être faible. L'énergie cinétique finale est négligeable devant l'énergie potentielle finale.
mg zL =80 x9,81 x2500 ~1,96 106 J.
La diminution de l'énergie mécanique est égale au travail des frottements :
1,96 106 -2,08 106 = -1,18 105 = - f l ; f = 1,18 105 / 1870 =63 N.



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