Mouvement sur rouleaux,
Concours interne ingénieur de l'industrie et des mines 2017 .
Concours commun polytechnique 2011.


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La rotation des rouleaux se fait sans frottement grâce à une liaison parfaite. Le moment d'inertie relativement à l'axe d'un rouleau est noté J=20 kg m2.
Le rouleau 2 est entraîné par un moteur à la vitesse angulaire constante w2 >0.
Les actions des rouleaux sur (S) en I1 et I2 sont :

Les coefficients de frottement dynamique et statique en I1 et I2 sont égaux et valent : µ=0,1.
A t=0, le point G se situe sur la verticale de O tandis que l'extrémité droite de (S) se situe à la verticale de O2 et la vitesse du solide (S) vaut V0 = +0,442 m /s.
A.1. On suppose que le mouvement de (S)  s'effectue toujours sans glissement en I1. A un instant quelconque on note x(t) l'abscisse du point G. Ecrire la relation qui résulte du non glissement.
Soient I1S un point de (S) au voisinage de I1 et I1R un point du rouleau 1 au voisinage de I1. En absence de glissement les points I1S et I1R ont la même vitesse. Dans le référentiel du laboratoire :
avec w1 négatif.
Déterminer la vitesse de glissement de (S) en I2 en fonction de X', r et w2. Quel est le signe de T2 ? Ecrire la relation liant T2 et N2.
(2)
X' et w2 sont positifs, la vitesse de glissement est dirigée vers la droite. L'action tangentielle de frottement T2 est dirigée en sens contraire de la vitesse de glissement.
T2 <0 ; µ = -T2 / N2.
(3)
A.2. Etablir deux relations provenant du théorème de la résultante dynamique pour (S) seul. Puis en considérant le rouleau 1 seul, établir une relation provenant du moment dynamique en O.
(S) est soumis à 3 actions : son poids et les actions de contact en I1 et I2.
(4)
Le rouleau 1 est soumis à son poids à R1 et à T1. Seul le moment en O1 de T1 n'est pas nul.
Théorème du moment cinétique en O1 :
rT1 = J dw1/dt.( 5)
....

.....
A.3. Exprimer le moment cinétique en G de (S) et en déduire une dernière relation.
(S) est en translation dans R. Dans le référentiel barycentrique, tous les points de (S) sont immobiles. Les quantités de mouvement sont donc nulles. Le 
moment cinétique en G de (S) est donc nul.
Théorème du moment cinétique au point G.
La dérivée du moment cinétique en G est égale à la somme des moments des forces extérieures en G.

Relation 6.
A.4. Des relations précédentes obtenir une équation différentielle en X(t).
(5) donne : T1 = J /r dw1/dt.
(1) donne
T1 = - J /r dX'/dt = -J / r2 X".
(4) donne T2 = MX"-T1 = (M +J / r2)X".
(3) donne : N2 = -T2 /µ = -
(M +J / r2) / µ X".
N1 = Mg-N2 = Mg +
(M +J / r2) / µ X".
(6) donne :
h(
-J / r2 X" + (M +J / r2)  X") +(l-x)Mg -2d(Mg + (M +J / r2) / µ X") =0.
hM X" +
(l-x)Mg -2d(Mg + (M +J / r2) / µ X")=0.
X" hM -
2d( (M +J / r2) / µ)+(l-2d)Mg -Mg X =0.
X"  (hM - 2d( (M +J / r2) / µ)+(l -2d-X)Mg =0.
X"  +(l -2d-X)Mg / [ hM - 2d( (M +J / r2) / µ ] X =0.
A.5. vérifier que cette équation est bien celle d'un oscillateur harmonique de position d'équilibre Xe et de pulsation W.
On pose
W2 =Mg / [- hM + 2d( (M +J / r2) / µ ] et -Xe = 2d-l.
X" +W2 (X -Xe)=0.
A.N. M = 3500 kg ; r = 0,2 m ; 2d = 1,6 m ; 2 l = 2 m ; h = 0,4 m ; J = 20 kg m2 ; µ= 0,1.
W = 0,74 rad /s ; Xe = 1,6-1=0,60 m.




A.6. A l'instant t = t, la vitesse de (S) s'annule pour la première fois. Etablir l'expression de tan ( Wt) en fonction de W, l, d et V0. Calculer l'amplitude maximale Xm du déplacement de G et en déduire que (S) est toujours en appui sur le rouleau n°1 à l'instant t = t.
X +Xe= A cos (Wt) + B sin (Wt).
A l'instant initial, X = 0 et X'(t=0) = V0 = 0,442 m /s.
Xe = A.
X'(t) = -AW sin (Wt) + B W cos ( Wt).
V0 = B W.
X(t) = -Xe(1-
cos (Wt) + V0 / W sin (Wt).
La vitesse s'annule à t = t.
0 = 
-XeW sin (Wt) + V0 cos ( Wt).
tan
( Wt) = V0 / (Xe W).
t = 1 / W arctan (
V0 / (Xe W)).
A.N.
tan ( Wt) =0,442 /(0,6 x0,74) =0,995 ~1.
Wt ~ p / 4.
La vitesse étant positive entre les dates 0 et t.
Xm = X(t) =
-Xe(1-cos (p / 4) + V0 / W sin (p / 4).
Xm = -0,6(1-0,707) +0,442 / 0,74 x 0,707 = - 0,1757 +0,4223 ~0,25 m.
Xm est inférieur à 2l-2d = 2-1,6 = 0,40. Il y a donc toujours appui sur le rouleau 1.











A.7. Vérifier également que le mouvement de (S) reste bien sans glissement jusqu'à l'instant t = t.| < µ.
Il a non glissement en I1 si | T1 / N1| < µ.
X" = - W2(X +Xe).
| T1 / N1| =[J / r2 |X"| ] / (Mg + (M +J / r2) / µ X"] = [J / r2 W2(X +Xe) ] / (Mg - (M +J / r2) / µ W2(X +Xe)] .
Le numérateur [J / r2 W2(X +Xe) ] est maximal pour X = Xm.
Le dénominateur (Mg - (M +J / r2) / µ W2(X +Xe) est minimal pour X = Xm.
| T1 / N1| est maximal pour X = Xm.
| T1 / N1|max = [J / r2 W2(Xm +Xe) ] / (Mg - (M +J / r2) / µ W2(Xm +Xe)].
A.N : 
| T1 / N1|max =[20 / 0,22 x0,742(0,25+0,6) ] / (3500 x9,81 - (3500 +20 / 0,22) / 0,1x 0,742(0,25+0,6) ].
| T1 / N1|max =232,73 / 18618 =0,0125, valeur inférieur à µ=0,1.
A.8. Etablir les expressions des composantes T2(X) et N2(X) de la réaction en I2.
T2 = MX"-T1 = (M +J / r2)X" = - (M +J / r2)W2(X +Xe).
N2 = -T2 /µ = - (M +J / r2) / µ X" = (M +J / r2)W2(X +Xe) / µ.
A.9. Exprimer le travail fourni par le moteur d'entraînement au rouleau 2 entre les dates 0 et t.
Le rouleau 2 est soumis à  :
son poids, appliqué en O2. Le poids ne travaille pas et son moment par rapport à l'axe de rotation est nul.
Au couple exercé par le moteur
de moment moteur . Le travail de ce couple est positif.
à la réaction -R2 exercée en I2, fournissant un travail négatif.
La vitesse de rotation du rouleu 2 est constante. Le moment cinétique est constant et le moment dynamique est nul.

Puissance fournie par le moteur : Pm = G w2 = -T2 r
w2 positif.
Pm = - (M +J / r2)X" r w2 .
Travail élémentaire d W =
Pm dt = - (M +J / r2) r w2 dX'.
Intégrer entre 0 et t.
W =
(M +J / r2) r w2 V0 .


.
 



  

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