Mathémmatiques,
Concours EMIA 2017.

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Exercice 1.
Exprimer à l'aide de ln 2 et ln 3 :
A = ln 96 =ln (3 x 25) = ln3 + 5 ln2.
B = ln(65) = 5 ln6 = 5(ln2+ln3).
C= 1 / ln12 = 1/ ln12 =1 / ln(22x3) =1 / (2ln2+ln3).
D = ln (1/12) = -ln12 = -(2ln2 +ln3).
E = ln(18 x36) = ln (34 x23)=4 ln3 +3 ln2.
F = ln (12+36) = ln 48 = ln(24 x3) =4 ln2 + ln3.

Exercice 2.
Simplifier les expressions suivantes.

Exercice 3.
 Résoudre dans R les inéquations suivantes :
ex-1 >1 ; x-1 > ln1 ; x-1 >0 ; x >1.
ln(2-x) > 0 ; 2-x > e0 ; 2-x > 1 ; x < 1.
De plus 2-x > 0 ;  x < 2.







Exercice 4.
Soit E et F deux points du plan d'affixe respective zE et zF. Que représente |zE-zF| ?
|zE-zF|  représente la distance EF.
{M(z) /P} désigne l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant la propriété P. Interpréter géométriquement les ensembles de points du plan suivants :
A = {M(z) / |z+i+1 | < 2}
z= x +iy ; z+i+1 = x+1 +i(y+1).
|z+i+1|2 = (x+1)2 +(y+1)2 < 4.
Il s'agit de l'ensemble des points contenu à l'intérieur d'un cercle  ( circonférence comprise ) de rayon R = 2 et centré au point de coordonnées (-1 ; -1).

B = {M(z) / |z-1+2i| =|z+2-i|}.
|z-1+2i| 2= (x-1)2 +(y+2)2 ; |z+2-i| 2= (x+2)2 +(y-1)2 ;
(x-1)2 +(y+2)2 = (x+2)2 +(y-1)2 ;
(x-1)2- (x+2)2 =(y-1)2 -(y+2)2  ; -3 -6x= -3 -6y soit la droite d'équation y = x.

C = {M(x) / |z-i| = -1}.
|x+i(y-1|)| = -1.
|z-i| doit être positif. Donc ensemble vide.

Exercice 5.
1. Soit fla fonction définie sur ]-1 ; +oo[ par f(t) = ln(1+t) -2t /(1+t).
Etudiier le sens de varaiation e f sur [1 ; +oo( et justifier qu'il existe un seul réel a >1 tel que f(a) =0.
Dérivée de ln(1+t) : 1 / (1+t).
Dérivée de -2t /(1+t) en posant u = -2t et v = 1+t ; u'  = -2 ; v' = 1.
(u'v-v'u/  / v2 = (-2(t+1) +2t) /(1+t)2= -2 /(1+t)2.
f '(t) = 1/(1+t) - 2 /(1+t)2 = (1+t-2) / (1+t)2 = (t-1) / (1+t)2.
f '(t) est positive sur [1 ; +oo[ ; f(t) est strictement croissante sur cet intervalle.
f '(t) est négative sur ]-1 ; 1 [ ; f(t) est strictement décroissante sur cet intervalle.
f '(x) = 0 pour x = 1 ; f(t) présente un minimum pour x = 1.
f(1) = ln2- 1 <0 ;d'après le corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe 
un seul réel a >1 tel que f(a) =0.

2. Déterminer le domaine de définition de la fonction g définie par g(x) = e-x ln(1+e2x).
Exprimer g '(x) en fonction de f et justifier que le maximum de g est égal à 2 a½ / (1+a).
e-x est définie sur R ; e2x est positif ou nul ; ln(1+e2x ) est définie sur R.
Donc g(x) est définie sur R.
Calcul de g'(x) en posant u = e-x et v = ln(1+e2x).
u' = -e-x ; v' = 2e2x /(1+e2x).
u'v +v'u = -e-x
ln(1+e2x) + 2ex /(1+e2x) =  -e-x(  ln(1+e2x) -2 e2x /(1+e2x)).
En posant t = e2x : g'(t) = -f(t) / t½.
g'(t) s'annule pour f(t)=0 soit t = a soit x = ln a / 2.
Maximum de g :  exp(-ln a / 2) ln(1+exp(ln a)) =
exp(-ln a½ ) ln(1+ a) = exp(ln a ) ln(1+ a) =ln(1+ a) / a½.




Exercice 6. 
Calculer les dérivées de :
(x2+1)½. On pose u = 1+x2 ; u' = 2x ; dérivée de u½ = ½u u' =x (x2+1)-½..
ln[ x+(x2+1)½] : on pose u = x+(x2+1)½ ; u'= 1+x (x2+1)-½..
Dérivée de ln u : u' / u = [ 1+x (x2+1)] / [x+(x2+1)½] = (x2+1).
En intégrant par partie, déterminer I.


Exercice 7.
On considère un espace de probabilité et deux événements A et B.



Exercice 8.
5 % de la population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d'une épidémie, on constate que la proportion de vaccinés parmi les malades est de 15 %.. De plus, il y avait une proportion de 30 % malades parmi les vaccinés.
On considère les événements M =" l'individu est malade" et V=" l'individu est vacciné".
1. Exprimer en langage probabiliste les données de l'énoncé.
La probabilité d'être vacciné est de 5 % : P(V) = 0,05.
PV(M) = 0,30 ; PM(V) = 0,15.
2. Quel est le pourcentage de personnes malades qu cours de cette épidémie ?

Malades : 0,015 + 0,95 x ;
proportion de malades parmi les vaccinés : 0,015 / (0,015 +0,95x) = 0,15 ; 0,1 = 0,015 +0,95 x soit x = 0,085/0,95 =17 /190 ~0,089 (8,9 %).
3. Quelle est la probabilité de tomber malade pour une personne non vaccinée ? Exprimer le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
0,95 x = 0,95 * 17 /190 =17 / 200 ~0,085 ( 8,5 %).
4. Le vaccin est-il efficace ?
Non, la probabilité de tomber malade en étant non vacciné est du même ordre de grandeur que la probabilité de tomber malade en étant vacciné.




  

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