Une moto et son conducteur.
Concours commun polytechnique 2013.

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On va étudier quelques mouvements d’une motocyclette (moto) et de son conducteur. On suppose l’existence d’un référentiel galiléen auquel est associé un repère orthonormé direct Oxyz ; la direction Ox est supposée horizontale. L’accélération due à la pesanteur est notée (pour simplifier les calculs, on pourra prendre g=10 m s-2). L’ensemble moto + conducteur est de masse M=300 kg, la position du barycentre de cet ensemble est caractérisée par les distances d1=0,7 m, d2=0,4 m et h=1 m (voir figure ). La roue avant, pneu inclus, de centre O1, possède un rayon r1=0,5 m et un moment d’inertie, relativement à son axe J1 =6 kg m2. La roue arrière, pneu inclus, de centre O2, possède un rayon r2=0,52 m et un moment d’inertie, relativement à son axe J2 = 10 kg m2. Lorsque la moto se déplace, les deux roues en contact avec la chaussée supposée horizontale, les points de contact des roues avant et arrière sont notés I1 et I2. Les réactions du sol sur les roues sont respectivement . Le coefficient de frottement des roues sur le sol es f=0,8 ; il ne sera pas fait de distinction entre le coefficient de frottement statique et le coefficient de frottement dynamique. A un instant donné quelconque, la vitesse instantanée de l’ensemble est v (on se limitera au cas v >0). De même, on note w1 et  w2 , les vitesses de rotation instantanées des roues avant et arrière. On supposera toujours que les roues roulent sans glisser sur le sol. De plus, pour les questions allant de 1.1 à 1.14, on négligera l’action de l’air ambiant sur la moto et son conducteur. (il peut s’agir, par exemple, d’une phase de démarrage pour laquelle la vitesse n’est pas élevée).

1.1 Ecrire les relations de non glissement des roues sur le sol ; en déduire les expressions de w1 et  w2 en fonction de v, r1 et r2.
Soient I1S un point de la roue au voisinage de I1 et I1R un point du sol au voisinage de I1. En absence de glissement les points I1S et I1R ont la même vitesse. Dans le référentiel du laboratoire :

1.2 On note s1(O1) et s2(O2), les moments cinétiques en O1 et O2 des roues avant et arrière (il s’agit de moments pour un observateur du repère Oxyz). Donner leurs expressions en fonction de J1, J2, w1 et w2.
Les moments cinétiques en O1 et O2 des roues sont les moments cinétiques barycentriques des roues.
(2)
 1.3 Montrer que le moment cinétique s(G) de l’ensemble moto + conducteur relativement au point G, moment pour un observateur du repère Oxyz, se limite à la somme des moments précédents (on pourra utiliser le théorème de Koenig faisant référence au repère barycentrique
Le moment cinétique en G du système moto +conducteur +roues est la somme des moments cinétiques de trois solides distincts ( roues et moto + conducteur, noté sous-système 3). Le moment cinétique barycentrique de la moto + conducteur  de masse m3 est nul, cet ensemble ne tournant pas.

 1.4 En utilisant le théorème de la résultante dynamique, donner deux expressions liant N1, N2, T1, T2, M, g et v' (accélération instantanée).
On note A1 et A2 les actions des axes des roues.
(3)

1.5 En utilisant le théorème du moment cinétique, donner une expression liant  N1, N2, T1, T2, J1, J2, r1, h, r2, d1, d2 et v'.
(4)



1.6  En appliquant le théorème du moment cinétique à la roue avant, établir une relation  entre T1, J1, r1 et v'. (il est à noter que l’articulation de cette roue sur le reste de la moto est supposée parfaite et que cette roue n’est soumise à aucun couple).
Le moteur exerce un couple sur la roue arrière noté G <0 puisqu’il s’agit du couple moteur ; il n’y a pas de couple exercé sur la roue avant).
Les moments des forces N1, A1 et du poids de la roue, par rapport à O1 sont nuls.

 1.7 A partir des relations obtenues, écrire N1, N2, T1, T2 en fonction de v'.
(3) donne T2 = Mv' -T1 ; T2 = (M+ J1 / r12)v'.
(3) donne N1 = Mg -N2.
Repport dans (4) : v '(J1 /r1 +J2 /r2) = -h Mv ' -d1(Mg-N2) +d2N2 .
N2 =
[Mgd1+v '(J1 /r1 +J2 /r2+ h M)] / (d1+d2).
Par suite :
N1 = [Mgd2 -v '(J1 /r1 +J2 /r2+ h M)] / (d1+d2).
 1.8 Pour une accélération telle que v' / g = 0,1, montrer que les roues ne décollent pas du sol.
Seule la roue avant peut décoller. Calculons N1 :
J1 /r1 +J2 /r2+ h M =6 /0,5 +10 /0,52 +300 x1 ~331.
N1 = [ 300 x10 x0,4-331] / (0,4 +0,7) ~786 N.
N1 étant positive, la roue avant ne décolle pas du sol.

1.9 De même, montrer qu’il n’y a pas glissement sur le sol, pour cette accélération.
On calcule |T1| / N1 et on le compare au coeficient de frottement f = 0,8.
T1 = -6 /0,52 = -24 N ;
|T1| / N1=24 / 786 = 0,03, valeur inférieure au coefficienr de frottement : il n'y a pas glissement.
1.10  Par application du moment cinétique à la roue arrière, expliciter la relation liant le couple et l’accélération.
Voir relation (6) ci-dessus.
1.11 On suppose le couple constant, ce qui correspond à une accélération constante. Exprimer la puissance instantanée P transmise par le moteur à la roue arrière motrice.
P = -G w2.
Le couple est constant ;
w2 est une fonction linéaire  ; P croît de manière linéaire.


Pour les questions 1.12 à 1.14, on suppose que le pilote parvient à soulever du sol la roue avant de son véhicule et on notera θ l’angle d’inclinaison de O1O2 par rapport à l’horizontale.

1.12 En supposant négligeable la vitesse de rotation de la roue avant, exprimer le moment cinétique en G de l’ensemble (il s’agit du moment cinétique pour un observateur du repère Oxyz).
q est supposé constant, la roue 1 ne tourne pas, la moto et le conducteur ne tourne pas.
Le moment cinétique en G de l'ensemble est celui de la roue arrière.

1.13 Déterminer le moment en G des forces s’appliquant à l’ensemble moto + conducteur.
Le système est soumis à son poids et à l'action du sol sur la roue arrière. Le moment en G du poids est nul.

Le bras de levier est d2 cos q+r2 sin q - h sin q sur l'horizontale
et r2 +d2 sin q +(h-r2)cos q sur la verticale.
Somme des moments en G des forces : M=  T2 (r2 +d2 sin q +(h-r2)cos q)- N2 (d2 cos q+r2 sin q - h sin q).

1.14 D’après les deux questions précédentes, donner une équation permettant le calcul de l’angle θ.  Donner la valeur numérique de cet angle, pour v' /g = 0,2 en utilisant le graphe suivant.
Le théorème du moment cinétique conduit à : M= -J2 / r2 v ' = -10 / 0,52 x2 = -38,5 N m.
q ~ 18°.

1.15 A partir de cette question, on suppose que la moto roule de nouveau sur ses deux roues, le moteur exerçant un couple constant sur la seule roue arrière, couple noté G < 0. Comme on s’intéresse à une phase où la vitesse v peut être plus grande que celles des questions précédentes, il est maintenant nécessaire d’introduire une force supplémentaire de freinage, due à l’environnement de l’ensemble. Cette force s’écrira  et l’on supposera, pour simplifier, que sa ligne d’action horizontale passe par le point G. Etablir l’équation différentielle pour v .
 1.16 Montrer qu’il existe, pour la vitesse v, une valeur limite vl dont on donnera l’expression en fonction du couple moteur et des autres paramètres.
 1.17 Montrer que l’équation précédente peut s’écrire sous la forme v ' +av2 = avl2. On précisera l’expression de la constante a en fonction de k, M, J1, J2, r1 et r2.
 1.18 En supposant que la vitesse est nulle à l’instant 0,=t établir la solution de l’équation précédente. Pour cela, on pourra introduire le changement de fonction suivant :
u =vl / (vl-v) .


La relation (3) conduit à : N1 +N2 = Mg.
T1+T2-kv2 =Mv '.
Le moment en G de cette force de frottement horizontale est nul. Les relations (5) +(6) donnent :
T1+T2 = -[J1 / r12 +J2 / r22] v ' +G / r2.
-[J1 / r12 +J2 / r22] v ' +G / r2 = Mv ' +kv2.
G / r2 -kv2=M [1 +J1 / r12 +J2 / r22] v ' .
G /(k r2 ) =v2+M /  [k [1 +J1 / r12 +J2 / r22]] v ' .
On pose a = k / [M [1 +J1 / r12 +J2 / r22]].
a G /(k r2 ) =av2+v '.
S'il existe une vitesse limite, la dérivée par rapport au temps de la vitesse limite est nulle.
G / r2 -kvl2=0 ; vl = [G /(r2k)]½.
L'équation devient :
v ' +av2 = avl2.
v ' + a(
v2-vl2) =v' + avl2(  v2/ vl2-1) On pose u = v / vl.
u ' +
avl2(u2-1)=0 ; u' /u2-1)+avl2 =0
1/ (u2-1) =0,5 / (u-1) -0,5 / (u+1).
0,5du /(u-1)-0,5 du /(u+1) = -
avl2 dt.
0,5ln(u-1) - 0,5ln(1+u) = -avl2t + Constante.
- arcth u= -avl2t + Constante.
 u =  th(
avl2t + Constante).
La vitesse initiale étant nulle, la constante d'intégration est nulle.
 u =  th( avl2t) ; v = vl th(avl2t).

La résolution de l'équation différentielle conduit à l'existence d'une vitesse limite.



  

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