Tomographie par émission de positons.
bac S Nlle Calédonie  03 / 2017.




Le 18F-FDG( noté FDG par la suite) est un dérivé du D-glucose contenant du fluor 18, isotope radioactif du fluor. Injecté à un patient juste avant un examen appelé PET-scan, le 18F-FDG permet de localiser en direct les zones de l'organisme qui consomment le plus de D-glucose, comme les cellules du cerveau en activité. Cet exercice se propose d'étudier la synthèse du FDG à partir de l'isotope 18 du fluor et son utilisation comme marqueur radioactif lors de l'examen PET-scan.
1. Synthèse du FDG.
Le FDG est un dérivé du D-glucose dans lequel l'un des groupes hydroxyle ( -OH) est remplacé par un atome de fluor 18 radioactif.  La similitude de structure du FDG et du D-glucose fait que le FDG est absorbé par les cellules biologiques de la même façon que le D-glucose. Cependant la présence du fluor empêche ces cellules de le dégrader pour produire de l'énergie. Le FDG demeure donc plus longtemps dans les cellules.
Le FDG est produit au sein même des hopitaux qui en ont besoin par réaction d'ion fluorure 18 avec un composé A représennté ci-dessous. La réaction se déroule en deux étapes.

Lors d'une deuxième étape ( non décrite ici, on obtient le FDG à partir du produit B.
1.1. l'étape 1 est-elle une addition, une élimination ou une substitution ? Justifier.
Lors de l'étape 1, le groupe O-Tf est remplacé par le 18F. Le restant de la molécule est inchangé : il s'agit d'une substitution.
1.2. A l'aide du formalisme des flèches courbes, matérialiser la formation et la rupture de liaisons de l'étape 1.

1.3. Indiquer par un astérisque le(s) atome(s) de carbone asymétrique(s) de la molécule de FDG.




2. Utilisation du FDG pour un diagnostic médical.
Le FDG est injecté au patient sous forme d'une solution aqueuse par voie intraveineuse.
Préparation de l'injection.
A l'issue de la synthèse, on obtient une solution aqueuse de FDG de concentration molaire 5,0 10-8 mol/L qu'il faut diluer pour pouvoir l'injecter au patient. Pour cela on prélève 2,5 mL de solution aqueuse de FDG que l'on introduit dans un flacon. On complète avec une solution saline pour obtenir 15 mL de solution diluée.
2.1. Déterminer la concentration de la solution contenue dans le flacon.
Facteur de dilution F = 15 / 2,5 = 6.
Concentration de la solution diluée : 5,0 10-8 / 6 = 8,3 10-9 mol/L.
Pour des raisons de sécurité, l'activité d'un flacon de 15 mL ne doit pas dépasser Amax = 1,0 1010 Bq. L'activité A d'un flacon de FDG est proportionnelle au nombre N de molécules de FDG qu'il contient. On a A = lN où A est exprimée en Bq et l = 1,05 10-4 s-1.
2.2. Vérifier que le flacon préparé respecte les consignes de sécurité.
N = 8,3 10-9 x0,015 x 6,02 1023 = 7,525 1013.
A = 1,05 10-4 x 7,525 1013 =7,9 109 Bq, inférieur à Amax.
On souhaite utiliser ce flacon de 15 mL ayant une activité de 7,9 109 Bq pour réaliser un examen sur plusieurs patients. le protocole médical impose qu'on injecte à chaque patient une quantité de FDG dépendant de la masse corporelle ( en kg). la dose recommandée est de 3,7 MBq kg-1.
2.3. ERstimer le nombre de patients adultes à qui l'on pourrait injecter la dose recommandée avec un flacon.
Masse moyenne d'un patient : m = 70 kg.
Dose recommandée pour un patient : 3,7 106 x70 ~2,6 108 Bq.
Nombre de patients : 7,9 109 / (2,6 108) ~30.









3. Production des ions 18F- avec un cyclotron.
On bombarde au moyen d'un cyclotron, des noyaux d'oxygène 18 par des protons dont l'énergie cinétique est de 16 MeV.
Le cyclotron est un appareil constitué de deux demi-cylindres creux appelés dees. Entre les plaques G et D des dees règne un champ électrique E uniforme perpendiculaire à ces plaques. On fait l'hypothèse que le proton n'est pas relativiste et on admettra que son poids est négligeable devant la force électrique. Les protons placés au point O sont accélérés jusqu'au point O' où ils pénètrent dans le dee D.

A t=0, un proton est introduit dans le cyclotron au point O sans vitesse initiale. La tension accélératrice vaut U = 30 kV. On se place sur l'axe Ox horizontal, centré sur O, dirigé vers la droite.
3.1. Sachant que le proton doit être accéléré, compléter le schéma, sans souci d'échelle, en y faisant figurer le vecteur F modélisant la force électrique exercée sur le proton en O ainsi que le champ électrique E. Justifier.
3.2. Etablir l'expression du vecteur accélération du proton en fonction du champ électrique.
Le travail de la force électrique doit être moteur afin d'accélérer les protopns. La charge électrique d'un proton est positive q = e.
Travail de la force F : W = e U positif ; par conséquence U = UGD est positive.
La force F est dirigée de O vers O'. La charge étant positive, la force et le champ électrique sont deux vecteurs colinéaires et de même sens.


3.3. Montrer que l'abscisse x du proton sur le trajet OO' est donné par la relation : x(t) = e|U| / (2md) t2.
La vitesse est une primitive de l'accélération :
a = e|U| / (md) ; v = e|U| / (md) t + Constante.
A l'instant initial, la vitesse est nulle : 0 = Constante.
L'abscisse est une primitive de la vitesse : x(t) =
e|U| / (2md) t2+ Constante.
A l'instant initial, la proton est en O, origine de l'axe : la constante d'intégration est nulle.
Dans le dee D, le proton soumis à un champ magnétique uniforme d'intensité B = 1,6 T, a un mouvement circulaire uniforme jusqu'au point A'. Lorsque le proton arrive au point A', le sens du champ électrique E est inversé. Le proton subit alors une nouvelle accélération jusqu'au point A.
Le processus d'accélération et de demi-tours successifs se répète un grand nombre de fois jusqu'à ce que le proton sorte de l'accélérateur avec la vitesse souhaitée pour bombarder la cible. Une dizaine de microsecondes est nécessaire pour atteindre une telle vitesse.

3.5. le mouvement du proton entre O' et A' est circulaire uniforme. En déduire la relation entre la vitesse v du proton, le rayon R de la trajectoire et la durée Dt2 de ce premier demi-tour.
Le proton décrit la demi circonférence pR à la vitesse v en
Dt2 seconde ; v = pR / Dt2.
Le rayon R de la trajectoire d'un proton dans un dee est donné par la relation R = mv /(eB) où v est la vitesse du proton.
3.6. Montrer que Dt2 peut s'exprimer sous la forme Dt2 = pm / (eB). En déduire que tous les demi-tours ont la même durée.
Dt2 = pR / v avec R / v = m / (eB) ; Dt2 =  pm / (eB).
Dt2 est indépendante du rayon R et B est constant : tous les demi-tours ont la même durée.
3.7. En considérant que la durée Dt1 d'une phase d'accélération est de l'ordre de 2 ns, montrer que Dt2 est environ 10 fois plus grande.
Par la suite on considèrera que Dt est négligeable devant Dt2.
Dt2 =3,14 x1,67 10-27 /(1,6 10-19 x1,6) ~2,0 10-8 s ~20 ns.
3.8. Evaluer le nombre de tours que doit faire le proton pour qu'il atteigne, à la sortie du cyclotron, une énergie de 16 MeV. Evaluer la durée pour que le proton sorte du cyclotron et comparer la valeur obtenue avec celle du texte.
A chaque passage entre les dees, l'énergie du proton augmente de eU joule ou U électron-volts, soit 30 keV ; à chaque tour, l'énergie du proton croît de 60 keV.
Nombre de tours : 16 103 / 60 ~267 tours.
Durée correspondante : .267 x 40 10-9~1,0 10-5 s ou environ 10 µs.
Cette valeur est en accord avec le texte : " Une dizaine de microsecondes est nécessaire pour atteindre une telle vitesse.".




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