Mécanique, chute, oscillations mécaniques, portail. Concours EMIA 2012.
école militaire interarmes

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Exercice 1 : Chute ( 2 / 7).
Un objet P1 est lâché du haut d'une falaise ( point O) sans vitesse initiale. Un second objet P2  est lancé depuis le point O avec une vitesse initiale horizontale v0.

On admettra les hypothèses suivantes :
Les objets sont assimilés à des points matériels ;  on néglige les actions de l'air ; la falaise a une hauteur h = 10 m ; le mouvement a lieu dans le plan vertical ( Ox, Oy ) ; g = 9,8 m s-2.
 1.1. Enoncer la deuxième loi de Newton.
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse M du solide par l'accélération de son centre d'inertie.
1.2. L'objet P1 effectue-t-il un mouvement de chute kibre ? Justifier.
La résistance de l'air est négligeable. Cet objet n'est soumis qu'à son poids. C'est une chute libre.
1.3. Même question pour l'objet P2.
La résistance de l'air est négligeable. Cet objet n'est soumis qu'à son poids. C'est une chute libre.
1.4. Etablir les équations littérales x2(t) et y2(t) de l'objet P2 dans le repère choisi.
Accélération ax = 0 ; ay = g.
Vitesse : vx = v0 ; vy = gt.
Position x2(t) = v0t ; y2(t) = ½gt2.
1.5. En déduire l'expression littérale de la durée t2 de chute de P2.
h = ½gt22 ; t2 =(2h / g)½.

1.6. Lequel des deux objets touchera le sol en premier ?
Accélération ax = 0 ; ay = g.
Vitesse de P1 : vx = 0 ; vy = gt.
Position de l'objet P1 :x1(t) = 0 ; y1(t) = ½gt2.

Les deux objets arrivent en même temps au sol.




Au cours d'une deuxième expérience, un objet P3 de même masse M est propulsé à l'aide d'un dispositif lanceur. Il coulisse dans une glissière AO en subissant une force horizontale constante F3 qui s'exerce tant que l'ojet est dans la glissière, c'est à dire sur la distance AO = L = 1 m.

On néglige toutes les forces de frottement agissant sur l'objet et on repère sa position lorsqu'il atteint le sol par la distance D3 par rapport au pied de la falaise.
1.7. En utilisant les résultats précédents, démonter la relation suivante D3 = v3 (2h/g)½ où v3 est la vitesse de l'objet en O.
t3 =(2h / g)½ ; D3 = v3t3 =v3 (2h/g)½ .
1.8. Faire le bilan des forces appliquées entre A et O et les représenter sur un schéma.
Poids P, action normale du support et force propulsive F3.

1.9. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, déterminer l'expression de v3 en fonction de F3, M et L.
P et RN, perpendiculaires à la vitesse, ne travaille pas.
Travail moteur de F3 : W = F3 L.
Variation de l'énergie cinétique : ½Mv32 = F3L ; v3 = (2F3L / M)½.
  1.10. En déduire l'expression de F3 en fonction de D3, M, L, g et h.
D3v3 (2h/g)½  = (2F3L / M)½ (2h/g)½  ;
F3 = D32 Mg / (4Lh).
Lors d'un tir d'un quatrième objet P4, le lanceur est réglé pour une force F4 quatre fois plus intense que F3.
1.11. Quelle est la relation entre les distances D4 et D3 ?
F3 = D32 Mg / (4Lh) ; F4 = D42 Mg / (4Lh).
F3 / F4= (D3 / D4)2  = 0,25 ;  D3 / D4 = 0,5.










2. Oscillations mécaniques ( 2 / 7).
Oscillations libres.
On considère un oscillateur mécanique qui est constitué d'un ressort vertical idéal, de constante de raideur k et de longueur à vide L0 = 50,0 cm auquel est suspendu un solide S de masse m = 100 g de centre G. L'ensemble est suspendu à une poutre fixe.
2.1. Représenter sur un schéma le ressort à l'équilibre ainsi que le solide S en faisant apparaître les forces agissant sur le solide S.

La masse m est soumise à son poids et à la tension du ressort. A l'équilibre ces deux forces sont opposées.
A l'équilibre : mg = k(Lé-L0).

2.2. A l'équilibre Léq = 60,0 cm. Déterminer la valeur littérale puis la valeur numérique de la constante de raideur k du ressort..
k = 
mg / (Lé-L0) = 0,100*9,8 / ( 0,600-0,500) = 9,8 N m-1.
Un opérateur écarte le solide S verticalement vers le bas et l'abandonne sans vitesse initiale. Au moment où l'opérateur lâche le solide S, la longueur du ressort est Lop = 69,0 cm. On appelle x(t) l'allongement algébrique du ressort, c'est à dire la différence entre la longueur du ressort à l'instant t et la longueur à l'équilibre. On suppose que le solide n'est soumis à aucun frottement.
3.3. Préciser les caractéristiques du repère vertical dans lequel x(t) est également l'abscisse du centre G du solide.
Origine : la position d'équilibre ; axe vertical orienté vers le bas.
3.4. Etablir l'équation différentielle en x(t) du mouvement de G.

écarté de sa position d'équilibre le ressort oscille : L= Léq +x.
mg-k(L-l0)= m d²x/dt² ; 
mg-k( Léq +x-l0)= m d²x/dt² ; 
mg-k( Léq -l0) - kx =m d²x/dt² ; or mg = k(Léq-L0)
m d²x/dt² + k x=0 (1).

2.5. En déduire l'équation horaire du mouvement du solide.
x(t) = Xm cos ( w0t) avec w02 = k / m.

2.6.
Quelle est la valeur de l'amplitude Xm ?
Xm = 69,0 -60,0 = 9,00 cm.

2.7. Déterminer l'expression littérale de la période propre T0 du mouvement.
w0 = 2 p / T0 ; T0 = 2p( m/k)½.
2.8. Calculer T0.
T0 =2*3,14 (0,100 / 9,8)½ =0,634 ~0,63 s.
2.9. En réalité le solide S subit une action de frottement fluide. Si le frottement est faible,quel est le type de mouvement observé ?
Mouvement pseudo-périodique.
2.10. Pour un frottement faible, tracer l'allure du graphe x(t) en faisant apparaître la pseudo-période T de l'oscillateur.

Oscillations forcées.
L'oscillateur mécanique précédent est accroché à la membrane d'un haut parleur alimenté par un générateur basse fréquence amplifié. La membrane est alors animée d'un mouvement vertical sinusoïdal dont la fréquence f est celle choisie sur le GBF. On constate qu'en faisant varier la fréquence f, l'amplitude des oscillations du solide S varie également.
2.11. Identifier l'excitateur et le résonateur.
Excitateur : membrane du hautparleur ; résonateur : système solide S ressort.
2.12. Pour quelle valeur de f, l'amplitude des oscillations du solide est-elle maximale ?
La fréquence f doit être égale à la fréquence propre du résonateur. f0 = 1 /T0 =1 / 0,634 ~ 1,6 Hz.
2.13. Comment appelle-t-on ce phénomène ?
Résonance.
2.14. Que se passe-t-il pour l'amplitude des oscillations lorsque la fréquence f devient très grande ?
Du fait de l'inertie du système solide S ressort, l'amplitude des oscillations est nulle.

 
Portail. ( 2 / 7).
La résolution sera essentiellement graphique.
La manoeuvre automatique d'un portail est réalisée grâce à un mécanisme schématisé ci-dessous représenté dans différentes positions. Le portail OF tourne autour de O. Le mécanisme moteur entraîne le bras O'A en rotation autour de O', à l'extrémité de ce bras la bielette AB, articulée en A et B transmet le mouvement au portail OB.
Le bras O'A, de longueur d = 40 cm, est moteur et sa vitesse de rotation est égale à N = 3/p tr /min par rapport au repère fixe. OF = 2,00 m.

3.1. Déterminer et placer le vecteur vitesse VA du point A par rapport au repère fixe R0. Echelle 1 cm --> 0,01 m/s.
Vitesse angulaire w = 2 p N / 60 = 0,010 rad /s.
VA = w / d = 0,010 / 0,40 = 0,025 m/s.
3.2. Déterminer la direction et placer le vecteur vitesse VB du point B par rapport au repère fixe R0 puis le construire graphiquement.
Graphiquement O'A = AB ;
VA =VB.
3.3. En déduire la vitesse du point Fpar rapport au repère fixe.
Graphiquement OB =3,5 cm et OF = 9,5 cm.
VB OB =
VF OF ; VF =0,025 *3,5 / 9,5 ~9,2 10-3 m/s.



  

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