Ondes ultrasonores, relativité restreinte. Concours orthoptie Nantes 2014

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A- Ultrasons dans l'air.
Célérité du son dans l'air à 25°C : vair = 340 m/s ; fréquence de l'émetteur f = 40 kHz.
1. Déterminer la longueur d'onde de l'onde ultrasonore générée.
l = vair / f = 340 / 40000 =0,0085 m = 8,5 mm.
2. La source est disposée à une distance d d'un récepteur lui faisant face.
Définir le retard avec lequel les vibrations sont transmises au récepteur. Le calculer pour d = 50 cm.
Dt = d /vair = 0,50 / 340 = 1,47 10-3 s = 1,47 ms.
3. Avec quel instrument de mesure ce retard peut-il être correctement évalué ? Justifier la réponse.
On utilise un oscilloscope : voie 1 relié à l'émetteur ( en mode salves ) et voie 2 relié au récepteur. Le retard est déterminé en observant le décalage des deux courbes et en utilisant la base de temps ( 1 ms / div ).

4.
Face à la source ultrasonore, réglée comme précédemment, on place à 10 cm une plaque de métal trouée d'une fente rectangulaire verticale de largeur réglable, disposée selon le schéma ci-dessous ( vue de dessus). On déplace le récepteur en le maintenant à une distance constante de 40 cm de la fente.

Un système d'acquisition permet de mesurer la tension aux bornes du récepteur. On repère la valeur de l'angle a correpondant aux maximas et aux minimas d'amplitude successive de la tension sinusoïdale mesurée. On donne les résultats obtenus pour une largeur de fente égale à 40 mm
Angle a (°)
0
12
18
25
Amplitude de la tension
Maximum
Minimum
Maximum
Minimum

a. Quel phénomène physique est mis en évidence par cette expérience ? La largeur de la fente a t-elle une influence sur ce phénomène ? Expliquer.
Lorsque la largeur de la fente est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde, on observe un phénomène de diffraction. Ce dernier est dautant plus marqué que la largeur de la fente est proche de la longueur d'onde. Ce phénomène n'apparaît pas si la largeur de la fente est très supérieure à la longueur d'onde.
b. Tous les autres paramètres de l'expérience restant inchangés, la largeur de la fente est réduite à 20 mm. Dans quel sens varie l'angle d'observation du premier minimum ? Justifier.
Si l'ouverture est plus petite on s'attend donc à ce que tous les angles mesurés précédemment soient plus grands, le faisceau diffracté s'élargissant.




B. Principe du sonar.
Le sonar est un dispositif émetteur-récepteur d'ondes ultrasonores qui, remorqué par un navire, permet d'obtenir des enregistrements donnant une image à deux dimensions des fonds marins. Les dispositions de l'émetteur et du récepteur sont représentées schématiquement ci-dessous :


Les "rayons ultrasonores" qui matérialisent la direction et le sens de propagation de l'onde ultrasonore sont très peu inclinés par rapport à la verticale. On considérera donc que le trajet accompli par l'onde (de l'émetteur vers le fond marin puis, après réflexion, du fond marin vers le récepteur) se fait quasiment selon la verticale.
 On utilise ici une tension sinusoïdale de fréquence f ' = 20 kHz pour alimenter l'émetteur, la longueur d'onde dans le milieu marin étant alors l= 7,5 cm.
1. Calculer la célérité veau des ondes émises.
veau = l  f ' =0,075 * 20 000 = 1,5 103 m/s.
L'onde n'est pas générée par l'émetteur en continu mais par trains d'ondes d'une durée de 0,010 s émis toutes les secondes.
Un système d'acquisition permet de visualiser la tension Ue aux bornes de l'émetteur en fonction du temps. On obtient la représentation suivante montrant deux trains d'ondes successifs S0 et S1 (fig. B1). Une visualisation de S0 est également proposée avec une échelle de temps plus petite afin de voir les détails du signal (fig. B2) :
Utiliser les données du texte précédent pour déterminer les durées T ', T1 et T2 indiquées sur les schémas. Justifier, le cas échéant, par des calculs.
T ' = 1 / f ' = 1 / 20000 = 5 10-5 s = 50 µs.
T1 = 1 s ; T2 = 0,010 s.









On visualise maintenant une acquisition qui superpose la tension Ue aux bornes de l'émetteur (signaux S0, S1.. ) et la tension Us aux bornes du récepteur ( signaux e0, e1 . ). Les traces e0, e1, e2, e3 matérialisent les différents échos détectés par le récepteur.

On appelle Dt le décalage de temps du premier écho e0 avec le déclenchement du premier signal électrique à t = 0 s. La valeur de D t est suffisamment faible pour que l'on considère l'ensemble émetteur-récepteur comme fixe par rapport au fond pendant cette durée. Calculer la profondeur D du fond marin en un lieu où D t = 0,10s.
Dt = 2D/ veau car le trajet accompli par l'onde correspond à un aller-retour  entre l'émetteur et le récepteur.
Soit D= Dt veau/2 =0,1× 1500/2 = 75 m.
- Proposer une explication pour l'existence d'échos multiples à intervalles de temps réguliers.
- Pourquoi leur amplitude décroît-elle ?

L'onde qui arrive sur le récepteur peut se réfléchir sur lui et être reçue à nouveau après un aller-retour de plus et ainsi de suite. Les intervalles de temps entre les échos sont réguliers car la distance parcourue, lors de chaque aller-retour est la même. Cela suppose que le bateau se déplace très lentement ou bien est à l'arrêt.
L'amplitude décroît car l'onde s'amortit au fur et à mesure qu'elle se propage car l'énergie de la source se répartit sur une sphère de plus en plus grande.

Relativité restreinte.
1. On considère un sprinter évoluant à une vitesse v = 10 m/s dans un référentiel terrestre.
a. Calculer le facteur de Lorentz g correspondant à cette vitesse.
g = [1-v2/c2]= [1-102/(3 108)2]~1,00.
b. Commenter ce résultat et ces conséquences.
La relativité restreinte concerne les très gandes vitesses et non pas les vitesses à l'échelle humaine.
c. Donner le principal postulat d'Einstein sur lequel est basé la relativité restreinte.
Les lois de la physiques sont les mêmes pour tous les observateurs se trouvant dans des référentiels inertiels.
La valeur de la vitesse de la lumière dans le vide a même valeur dans toutes les directions et dans tous les référentiels inertiels.
2. Proxima Centauri est l'étoile la plus proche du soleil : elle se situe  à une distance d = 4,22 années lumière de distance. Un astronef parti de la terre et voyageant à une vitesse v voit ses passagers vieillir de DTastronef = 3,0 ans durant un aller simple vers Proxima Centauri.
a. Définir une année lumière.
C'est la distance parcourue par la lumière dans le vide à la célérité c pendant une année.
b. Montrer que D = 4,00 1016 m.
D = 4,22 *3,00 108*3600*24*365 =4,00 1016 m.
c. La durée DT de ce voyage vu depuis la terre est-elle un temps propre ou un temps mesuré ?
DT est un temps mesuré.
d. Déterminer l'expression de cette durée
DT en fonction de D et v.
DT = D / v.
e. Quelle relation existe-t-il entre
DT et DTastronef.
DT = g DTastronef.
f. Montrer que la vitesse v de l'astronef est donnée par : v = D c / [
DT2astronef c2 +D2]½.
DT = D / v = 1 /[1-v2 /c2]½ DTastronef.
Elever au carré :
D2 / v21 /[1-v2 /c2] DT2astronef.
D2 / v2 [1-v2 /c2] = DT2astronef.
D2 / v2 - D2 / c2 =DT2astronef.
D2 / v2 DT2astronef + D2 / c2 = [D2  + c2  DT2astronef ] / c2].
v2 = D2 c2 / [D2  + c2  DT2astronef ]
v= D c / [D2   + c2  DT2astronef ] ½.
g. Calculer v à laquelle se déplace l'astronef par rapport à la terre.
v = 4,00 1016 *3,00 108 / [16 1032 +9 1016 *(3,0 *365*24*3600)2]½ = 2,45 108 m /s.
h. Calculer le facteur de Lorentz correspondant à la vitesse de l'astronef et conclure.
v2 / c2 =(2,45 / 3)2 =0,665 ; 1-0,665 =0,335 ; g = 1 / 0,335½ =1,73 ~1,7.
Les horloges en mouvement sont plus lentes quand elles sont observées par un observateur au repos.
Vu  de la terre, la durée du voyage aller est environ 3,0*1,7 ~5 ans.


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