Diffraction, interférences, satellite. Concours audioprothèsiste Paris 2015.

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Partie A : diffraction de la lumière, expérience de Fresnel.
1. Fresnel a utilisé les rayons solaires pour réaliser son expérience. En justifiant, dites quelle va être l'allure de la figure de diffraction obtenue.
La lumière solaire est polychromatique. Chaque radiation donne une figure de diffraction. Les longueurs d'onde du bleu étant inférieures à celles du rouge, les taches brillantes sont irrisées de rouge.
2. Il exploite le phénomène de diffraction de la lumière par un fil de fer. Le diamètre de ce fil a-t-il une importance pour observer ce phénomène ? Si oui, quel doit être l'ordre de grandeur de ce diamètre ?
Oui, le phénomène de diffraction est d'autant plus marqué que le diamètre du fil est  plus proche de la longueur d'onde de la lumière. Longueur d'onde moyenne de la lumière visible l = 0,6 µm. Le diamètre du fil doit être de l'ordre de quelques micromètres.

  Partie B : mesure d'une longueur d'onde par diffraction.
On réalise une expérience de diffraction à l'aide d'un laser émettant une lumière monochromatique de longueur d'onde l. A quelques centimètres du laser, on place successivement des fils verticaux dont on connaît précisément les diamètres qui seront désignés par a. On observe sur l'écran situé à une distance D= 1,60 m ddu fil une figure de diffraction. On peut alors mesurer la largeur L de la tache centrale et calculer la demi-ouverture angulaire q du faisceau diffracté.
 
3. Donner la relation entre L et D qui permet de calculer q pour chacun des fils.
tan q = ½L / D.
Pour les petits angles : q ~ ½L / D avec q en radian.
4. Donner la relation entre q et l ainsi que leurs unités.
q = l /a avec a et l en mètres.

5. On trace la courbe q = f(1/a). Montrer que la courbe obtenue est en accord avec la relation donnée à la question 4.
 La courbe q = f(1/a) étant une droite passant par l'origine, q et 1/a sont proportionnelles, en accord avec la relation de la question 4. La constante de proportionnalité, pente de la courbe, est égale à la longueur d'onde l. 
6. Déterminer graphiquement la longueur d'onde l.
l = 2,8 10-2 / (5 104) =5,6 10-7 m.
7. Quelles seraient les modifications obtenues si on avait remplacé les fils de diamètre a par des fentes d'épaisseur a ?
On observe la même figure de diffraction en utilisant un fil de diamètre a ou une fente de largeur a, dans la mesure où a est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde de la lumière.





Partie C : Mesure d'une longueur d'onde par interfrences.
On remplace le fil par un écran percé de deux fentes distantes de a = 0,40 mm et on observe des franges sur l'écran placé à D = 3 m des fentes.


8. Pourquoi la lumière peut-elle arriver en différents points de l'écran ? Pourquoi les franges ne sont-elles pas présentes en tout point de l'écran ?
Les deux fentes F1 et F2 se comportent comme deux sources secondaires cohérentes et synchrones. La figure d'interférences est observable dans la zone de l'écran où les ondes issues des deux sources secondaires se superposent.

 9. A quelle condition obtient-on une frange brillante ? A quelle condition obtient-on une frange sombre ? Comment appelle-t-on ces phénomènes ? Expliquer pourquoi l'intensité de la lumière sur l'écran dépend de la position y sur l'écran ? Qu'observe-t-on au centre de l'écran pour y = 0 ?
On observe une frange brillante si la différence de marche est un multiple de la longueur d'onde. Les interférences sont constructives et l'intensité lumineuse est maximale.
On observe une frange sombre si la différence de marche est un multiple impair de la demi-longueur d'onde. Les interférences sont destructives et l'intensité lumineuse est minimale.
Au centre de l'écran, les interférences sont constructives ( l'intensité de la lumière est maximale ). De part et d'autre de la france centrale, on oberve une alternance de franges brillantes et sombres : l'intensité lumineuse dépend  de la position y sur l'écran.
10. La largeur sur l'écran d'un ensemble de six franges consécutives est de 25 mm. Quelle est la longueur d'onde du laser utilisé ? Pourquoi mesure t-on six frange plutôt qu'une seule ?
En mesurant la distance entre six franges consécutives de même nature, on augmente la précision sur l'interfrange i = lD/a.
25 mm correspond à cinq interfranges : i = 5 mm = 5 10-3 m.
l = i a / D = 5 10-3 *0,40 10-3 / 3 ~6,7 10-7 m.











Détermination d'une vitesse.
Lors d'une collision survenue sur une autoroute horizontale et rectiligne, les gendarmes s'interrogent sur la vitesse de l'un des véhicules accidentés. La masse du véhicule incriminé est m = 1100 kg.
Le rapport de l'enquète précise deux points :
- la distance de freinage D mesurée à partir des traces des pneumatiques sur la chaussée est D = 100 m ;
- la force de frottement exercée par la chaussée sur les pneus est constante pendant le freinage. Sa valeur est f = 6100 N sur route sèche pour l'ensemble des  4 pneus.
1. Sur un schéma, représenter les forces ( sans souci d'échelle ) qui s'exercent sur le véhicule pendant le freinage. ( On néglige les frottements de l'air ).
Le véhicule est soumis à son poids, à l'action normale su plan et à la force de freinage.

3. En appliquant la loi de la mécanique la plus appropriée  mais que vous énoncerez, déterminer l'expression de la vitesse v au début du freinage en fonction de m, f et D.
Théorème de l'énergie cinétique : dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique du système ( le véhicule ) est égale à la somme des travaux des forces appliquées au système. Ici, seule f travaille,le poids et l'action normale du plan étant perpendiculaires au déplacement.
0-½mv2 = -f D ; v = (2f D / m)½.

3. Calculer v. Le chauffeur respecte-t-il la vitesse autorisée  de 130 km/h ?
v = (2*6100 *100 / 1100)½ = (1,1 103)½ =33 m /s.
soit 33 *3,6 ~120 km/h.  La vitesse autorisée est respectée.

4. Par temps de pluie ( vitesse limite autorisée 110 km/h ), la vitesse aurait-elle été respectée ?
Non.

Station spatiale en orbite.

Par rapport au référentiel géocentrique, la station ISS effectue 16 révolutions par jour sur une orbite circulaire, inclinée de 21,6 ° par rapport à l'équateur et située à une altitude h ( environ 400 km ).
Masse de la terre M = 5,97 1024 kg ; rayon de la terre R = 6380 km ; masse de la station m  ; G = 6,67 10-11 SI ; h = 400 km.
1. Représenter sur un schéma la force gravitationnelle que la terre exerce sur la station puis donner son expression vectorielle.


On suppose que seule la force gravitationnelle s'exerce sur la station.
2. Montrer que le mouvement est uniforme et établir l'expression de la vitesse en fonction des données.
La seconde loi de Newton conduit à :

La force de gravitation, perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas. En conséquence l'énergie cinétique et la valeur de la vitesse du satellite ne sont pas modifiées. La valeur de la vitesse étant constante, le mouvement est uniforme.

3. 
La masse m de la station croît au fur et à mesure de sa construction.
La vitesse de la station sur son orbite sera-t-elle modifiée ? Justifier.
La vitesse de la station est indépendante de sa masse. Cette vitesse restera donc constante.

4. Quelle est la loi de Kepler qui prévoit que le mouvement circulaire d'un satellite est uniforme ? L'énoncer..
Deuxième loi ou loi des aires : le mouvement de chaque planète est tel que le segment de droite reliant le soleil et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
5. Définir puis établir l'expression de la période de révolution de la station en fonction des données.

Durée (s) nécessaire pour décrire une circonférence ( 2pr en mètre) à la vitesse v ( m/s) définie ci-dessus.
2pr = v T ; T= 2pr / v avec r = R+h.
 Expression de T en fonction de G, M et r :
Elever au carré l'expression de la période : T2 = 4p2 r 2 / v2.
Remplacer v2 par son expression GM/ r : T2 = 4p2 r 3 / (GM).
T = 2p[r 3 / (GM)]½.
6. Enoncer la troisième loi de Kepler et montrer qu'elle est vérifiée.
Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du rayon de l'orbite.
r = (6380+400) 103  =6,78 106 m.
T = 24*3600 / 16 = 5,4 103 s.
T2 / r3 = (5,4 103)2 / (6,78 106)3 = 9,4 10-14.
4 p2/(GM) =4*3,142 / (6,67 10-11 * 5,97 1024) =9,9 10-14.
7. Définir un satellite géostationnaire.
Pour être géostationnaire le satellite doit avoir:
* une trajectoire circulaire de centre O, centre de la Terre
* pour période de révolution celle de de la Terre
*et de plus il doit tourner dans le même sens que la Terre avec le même axe de rotation
donc le plan de sa trajectoire est perpendiculaire à l’axe de rotation de la Terre et il contient le point O : le plan de la trajectoire est obligatoirement équatorial.
8. La station est-elle géostationnaire ? Justifier.
Non, sa période de révolution n'est pas égale à 24 heures et son orbite n'est pas dans le plan équatorial.


 
Détermination d'une distance en mer.
Des scientifiques étudiant les cétacés captent le chant d'une baleine en pleine mer. Le son est détecté par deux capteurs, un dans l'air, l'autre dans l'eau. On suppose que la baleine nage juste à la surface et que le son se propage dans les deux milieux. Le capteur placé dans l'air reçoit le son avec un retard Dt = 6,71 s par rapport à celui placé dans l'eau. A quelle distance D des capteurs se situe la baleine ? Vitesse du son dans l'air v = 340 m/s ; vitesse du son dans l'eau vE = 1480 m/s.
D = vE tE ; D = v t ; Dt = t-tE  = D [ 1 / v -1 / vE] =  D[ (vE-v) / (v vE)].
D =
Dt v vE / (vE-v) = 6,71 *340*1480 /(1480-340)=2,96 103 m.
 



  

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