Mathématiques
Concours audioprothésiste Bordeaux 2014.

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  Calculs.
1. 0,5 ln(16) -ln(2) +2 ln (2½) est :
A. nul
  ; B. strictement négatif ; C. égal à 4 ln(2) ; D. égal à 2 ln(2) ; vrai
 E. aucune des propositions précédentes.
ln (160,5)-ln(2) +ln((20,5)2) = ln(4) = ln(22) = 2 ln2.

2. 
Ln(25)-1,5 ln(5) -ln(5½) est :
A. nul, vrai B. strictement positifC. strictement négatif ; D. égal à 2 ln(5) ;
 E. 
aucune des propositions précédentes.
ln(52) -ln(51,5) -ln(5½) =
ln(52) -ln(51,5x 5½)=ln(52) -ln(52)=0.

3.

4. [ln(0,5)]2 -2ln(0,5) est :
A. nul ; B. strictement positif, vraiC. strictement négatif ;
D.
n'existe pas;
 E.
aucune des propositions précédentes.
On pose X = ln(0,5) ; X2-2X = X(X-2).
Or X = -0,693 :
X(X-2) >0.

5.
Equations, inéquations, logique.
6. L'ensemble des solutions de l'inéquation 1 / x <2 est
A.]0 ; 0,5 ] ;
B. [0 ; 0,5] ; C. [0,5 ; +oo[ ; D. ]-oo ; 0,5[ ;
E.
aucune des propositions précédentes. Vrai.
Pour x positif : 2x > 1 ; x > 0,5.
Pour x négatif :
>2x ; x < 0.

7. L'ensemble des solutions de l'inéquation exp(x2)< 1 est :
A. infini ;
B. 0
vrai ; C. 1 ; D. 2 ;
E.
aucune des propositions précédentes.
x2 < ln (1) ;
x2 < 0 ; x =0.

8. L'équation 3z2 +2z +2 =0 admet :
A. deux solutions distinctes dans C. Vrai ;
B. deux solutions distinctes dans R ;
C.
une unique solution dans C
; D. une unique solution dans R ;
E.
aucune des propositions précédentes.
D = 22-4 x2 x3 =-20 = 20 i2.
z1 = -1+i 5½ ;
z1 = -1-i 5½ .

9. P1 et P2 sont deux propositions et a et b deux réels. De manière générale :
On pose P1: " a2 = b2" et P2 "a=b".
A. seule P1 implique P2 ;
B.
seule P2 implique P1 vrai ; C. P1 et P2 sont équivalentes ;
 D.
P1 et P2 sont toujours fausses ;
E.
aucune des propositions précédentes.
a2 = b2  conduit à  a= ±b.





Suites.
On considère les suites suivantes, pour n >1 :
un = 1-2 / n ; vn = 3+3 /(n+1) ; un < wn < vn.
10. On a alors :
A. u et v sont croissantes ; B. u et v sont décroissantes.
C. u est croissante et v est décroissante. Vrai.
D. 
u est décroissante et v est croissante.
E.
aucune des propositions précédentes.
u1 = -1 ; u2 =0 ; u3 =1/3.... un tend vers 1.
v1 = 4,5 ; v2 =4 ; v3 =3,75....vn tend vers 3.

11. La suite w est nécessairement :
A. convergente. Vrai.
B. divergente vers +oo.
C. divergente vers -oo.
D. divergente sans limite
E. aucune des propositions précédentes.
La suite w est bornée par 1 et 3.

Complexes et géométrie.

12. L'écriture exponentielle de 2-2i est :

Dans les 4 items suivants on considère les nombres complexes z1 = 2 exp(ip/9) et z2 = -2 exp(-ip/9)
13. z127 est
A.
un réel strictement positif ;
 B. un réel strictement négatif ; vrai ;
C.
un imaginaire pur ;
D.
nul ;
 E.
aucune des propositions précédentes.
227 exp(
(ip/9 x27) = 227 exp((3ip) =227 exp((ip) = -227 .

14. z118 est
A.
un réel strictement positif ;
vrai ;
 B. un réel strictement négatif ;
C.
un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive;
D.
un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative;
 E.
aucune des propositions précédentes.
218 exp(
(ip/9 x18) = 218 exp((2ip) = 218. .

15. On a :
A.
z1 = z2
B.
z1 = - z2;
C. z1 = conjugué de  z2;
D.
z1 = -conjugué de  z2;
 E.
aucune des propositions précédentes. Vrai.
z1 = 2( cos ( p/9) +i sin (
p/9) ; z2 = -2( cos ( -p/9) +i sin (-p/9) = 2( -cos ( p/9) +i sin (p/9).

15. On a :
A.
z1 = z2
B.
z1 = - z2;
C. z1 = conjugué de  z2;
D.
z1 = -conjugué de  z2;
 E.
aucune des propositions précédentes. Vrai.

16. z1 +z2 est un :
A.
reél strictement positi f
B.
un réel strictement négatif ;
C. un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive ; vrai
D.
un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative ;
 E.
aucune des propositions précédentes. Vrai.

2( cos ( p/9) +i sin (p/9)+2( -cos ( p/9) +i sin (p/9) =4isin (p/9)~2,47 i.

17. L'écriture algébrique du nombre complexe z est :









On se place dans le plan complexe d'origine O.
Affixe de A : zA = 2+2i ;
affixe de B : zB =-2+2i , affixe de C : zC = a-3i avec a un réel ;
affixe de D : zD = -3½-i ;
affixe de E : zE = -3½+i ; affixe de F : zF = 3½+i.
18. Le triangle AOC est rectangle en O si a est égal à : :
A. 2 ; B. 3 vraiC. -2 ; D. -3E. aucune des propositions précédentes.
OA2 =22+22 = 8 ;
OC2 =a2+(-3)2 = 9+a2 ; AC2 = (a-2)2 +(-3-2)2=a2-4a+29.
OA2 +OC2 =AC2 ; 17+a2 =a2-4a+29 ; 4a=12 ; a=3.

On prend pour la suite la valeur de a telle que le triangle OAC est rectangle en O.

19.  On a :
A.  Le triangle AOB est rectangle en A ; B. Le triangle AOB est rectangle en O vrai ; C. Le triangle DOE est rectangle en D ;
D. Le triangle AOB est équilatéral ; E.
aucune des propositions précédentes.

20.  On a :
A.  Le triangle AOF est rectangle ; B. Le triangle DOE est rectangle en O ; C. Le triangle AOF est isocèle ;
D. Le triangle DOE est équilatéral ; E.
aucune des propositions précédentes. Vrai.

21.  On a :
A.  Le triangle AOC est équilatéral ; B. Le triangle DOB est rectangle ; C. Le triangle AOB est isocèle vrai ;
D. Le triangle AOB est équilatéral ; E.
aucune des propositions précédentes.
OA2 =22+22 = 8 ;
OB2 =(-2)2+22 = 8 ; AB2 = (-4)2 +(0)2=16.

22.  On a :
A.  Les points A, O et D sont alignés ; B. Les points B, O et C sont alignés ; C. Les points E, O et B sont alignés ;
D.
Les points A, O et F sont alignés ; E. aucune des propositions précédentes. Vrai.
23.  On a :
A. Les points A, O et E sont alignés ; B. Les points F, O et D sont alignés vra i; C. Les points E, O et F sont alignés ;
D.
Les points B, O et D sont alignés ; E. aucune des propositions précédentes.

Etude d'une fonction.
Soit la fonction numérique définie par f(x) = -0,5 x +1 +ln[(x-1) / (x-2)]

24. L'ensemble de définition de f est : :
A. ]-oo ; 1[ union ]2 ; +oo[
vrai. B. R-{ 1 ; 2}. C. ]-oo ; 1[ union ]1 ; 2[union [2 ; +oo[.
D.
]1 ; 2[. E.
aucune des propositions précédentes.
(x-1) / (x-2) doit être positif  avec x différent de 2 et de 1.

25. La limite en 1 de f(x) est égale à :
A. +oo
. B. -oo Vrai. 0. D. 0,5. E. aucune des propositions précédentes.

26. La limite en 2 de f(x) est égale à :
A. +oo.
Vrai  B. -oo. C. 0. D. 0,5. E. aucune des propositions précédentes.

27. La limite en +oo de f(x) est égale à :
A. +oo.
B. -oo. Vrai C. 0. D. 1. E. aucune des propositions précédentes.

28. La limite en -oo de f(x) est égale à :
A. +oo.
Vrai  B. -oo. C. 0. D. 1. E. aucune des propositions précédentes.

29. Sur l'intervalle ]1 ; 2 [ la fonction est :
A.strictement croissante ; 
B. strictement décroissante ;  C. constante.
D.
non définie, vrai ;E aucune des propositions précédentes.

30. Sur l'intervalle ]-oo ; 1 [ la fonction est :
A.strictement croissante ; 
B. strictement décroissante vrai  C. constante.
D.
non définie, ;E aucune des propositions précédentes.

31. Sur l'intervalle ]2 ; +oo [ la fonction est :
A.strictement croissante ; 
B. strictement décroissante vrai  C. constante.
D.
non définie, ;E aucune des propositions précédentes.

32.
la courbe représentative de f admet comme asymptote, la droite d'équation :
A.x=0 ; 
B. x=1 vrai  C. x=4. D. y=2 ;E aucune des propositions précédentes.

33. la courbe représentative de f admet comme asymptote, la droite d'équation :
A.y=0 ; 
B. y=1 C. x=2, vrai. D. y=2 ;E aucune des propositions précédentes.

34. la courbe représentative de f admet comme asymptote oblique, la droite d'équation :
A.y =-0,5x ; 
B. y = (x-2) / 2  C. y = -x/4. D. y=-0,5 x+1, vrai ; E aucune des propositions précédentes.



Fonction sinus et cosinus. g(x) = x sin (3x)

35. La fonction g est :
A. impaire ;  B. paire vrai. C. parfois paire, parfois impaire. D. ni paire, ni impaire. E. aucune des propositions précédentes.
f(-x) = -x sin (-3x) = x sin (3x).

36. La fonction g est :
A. non périodique, vrai. B. périodique de période 2p. C. périodique de période 2p/3. D. périodique de période p/3. E. aucune des propositions précédentes.

37. La limite en +oo de g(1/x):
A. n'existe pas, B. vaut 0. vraiC. vaut +oo.  D. vaut -oo. E. aucune des propositions précédentes.
La limite de g(1 / x) quand x tend vers l'infini est égale à la limite de g(x) quand x tend vers zéro.

38. La limite de g(x) en +oo :.
A. n'existe pas, vrai. B. vaut 0. C. vaut +oo. D. vaut -oo. E. aucune des propositions précédentes.
En +oo, les maximas sont de plus en plus grands et les minimas de plus en plus négatifs.

39. La dérivée de la fonction g est :
A. cos (3x). B.x cos(3x) + sin(3x). C. cos(3x) + sin(3x).
D. cos(3x) -x sin(3x).  E. aucune des propositions précédentes. Vrai.
On pose u = x et v = sin(3x) ; u' = 1 ; v' = 3 cos(3x) ; u'v+v'u = sin(3x) +3x cos(3x).

40. La primitive G de la fonction g vérifiant G(0)=0, est :
A. (-x2 cos(3x) / 6.
On dérive en posant u = x2 et v = cos(3x) ; u'=2x ; v' = -3sin(3x) : u'v+v'u =(2x cos(3x) -3x2 sin(3x) / 6.
B. -x cos(3x) / 9 +sin(3x) / 3.
On dérive en posant u = x et v = cos(3x) ; u'=1 ; v' = -3sin(3x) : u'v+v'u =cos(3x) -3x sin(3x) ;
 G' =-cos(3x) /9+x sin(3x)/3 +cos(3x).
 C. -x cos(3x) / 3 +sin(3x) / 9. Vrai.
On dérive en posant u = x et v = cos(3x) ; u'=1 ; v' = -3sin(3x) : u'v+v'u =cos(3x) -3x sin(3x) ;
 G' =-cos(3x)/3 +x sin(3x) +cos(3x)./3=x sin(3x)
  D. x sin(3x) / 3 +cos(3x) / 9. E. aucune des propositions précédentes.

Dérivation et intégration.
41. La dérivée, sur ]-p/8 ; +p/8[ de A est :

42. La valeur de l'intégrale I est :

43. La valeur de l'intégrale suivante est :

44. La valeur de l'intégrale suivante est :

Interprétation d'une courbe.
Soit une fonction h de la forme h(x) = ax2 +bx +c dont on donne une courbe représentative et où a, b, c sont des réels.

f(0 ) =2 d'où c = 2.
f(-1) = 0 : 0=a -b +2 ;
45. La tangente au point d'abscisse 4 a pour équation :
A. y=6, vrai. B. x =4. C. y = 6x+2. D. y=0.  E. aucune des propositions précédentes. Vrai.
La tangente est horizontale, son coefficient directeur est nul.
La tangente passe par le point d'abscisse 4 et d'ordonnée 6 ; y =6.

46. La dérivée de la fonction h est :
A.1-x/2. B. 2-x /2. C. 0,5x-2. D. (x-4)/2  E. aucune des propositions précédentes. Vrai.
f '(x) = 2ax+b ; f '(x) est  nulle pour x = 4 ; 0=8a+b ; b = -8a. f '(x) = 2a (x-4).
f(0) = c = 2 ; f(-1) =0 = a-b+2 ; 9a +2 = 0 ; a = -2/9.

47 et 48. Les ensembles de définition.et f(x) et de f '(x) sont :

Probabilités.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

49. P(X<-1)-P(X>1) :
A. n'existe pas. B. est strictement négative. C. est strictement positive.
D. est nulle. Vrai.  E. aucune des propositions précédentes.

50. P(X<-1)-P(X>2) :
A. n'existe pas. B. est strictement négative. C. est strictement positive. Vrai.
D. est nulle.  E. aucune des propositions précédentes.



  

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