Puissance sonore, oscillateur, ondes sonores. Concours audioprothèsiste Nancy  2015.

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I – Puissance sonore.
L’onde sonore peut être produite par les vibrations d’une membrane. Celle-ci provoque des variations de la pression P de l’air qui se propage. Au repos, la pression de l’air vaut P0 = 1,013×105 Pascal (Pa). On note p1=P-P0 la surpression de l’air. On a donc P=P0+p1. Lorsque l’onde affecte le tympan, celui-ci se déforme sous l’action des forces de surpression et vibre à son tour. L’oreille interne transforme ces vibrations en un influx nerveux que le cerveau interprète.
Dans le cas particulier des sons purs, à la température de 27°C et sous des conditions que nous ne préciserons pas ici, la puissance surfacique moyenne PS (appelée aussi intensité acoustique) du son 
exprimée en W/m2 est liée à la surpression maximale de l’air p1m par la relation :
PS = p21m / (2r0c)

r0=1,178 kg/m3 représente la densié volumique de l’air et c=347 m/s la vitesse du son (célérité du 
son). On rappelle que la définition du niveau d’intensité acoustique :
LI =10 log[PS / 10-12].
1. On note T la température absolue de l’air exprimée en Kelvins (K). On démontre que la célérité du son c est proportionnelle à T½ et que la masse volumique moyenne r0 est proportionnelle à 1/T.
Montrer que PS est proportionnel à T½ et à p21m.
 En déduire que pour être bien entendu, un son pur doit être émis avec des surpressions plus importantes quand il fait froid.
c = A T½ et r0 = B / T , r0 c= AB T avec A et B des constantes.
PS = p21m / (2ABT) = p21m T ½/ (2AB).
Quand il fait froid, T et en conséquence PS diminuent. Afin que le niveau sonore reste identique, il faut que PS augmente.
 2. Le minimum d’audibilité pour l’oreille humaine correspond à un niveau d’intensité acoustique nul. Calculer la puissance surfacique PS0 et la surpression maximale p10 associées.
LI =0 soit PS0 =1,0 10-12 W m-2.
p210 = PS0(2r0c)  = 1,0 10-12 *2*1,178 *347=8,175 10-10  ;  p10 =2,86 10-5 ~2,9 10-5 Pa.
3. La force maximale exercée sur le tympan de surface S=1 cm2 vaut fm = S p1m. Calculer la force f0 associée au minimum d’audibilité.
f0 = Sp10 = 10-4 *2,86 10-5 = 2,86 10-9 ~ 3 10-9 N.
4. Le seuil de la douleur est L'1=130 dB. Calculer la force maximale associée f 'm.
LI =10 log[PS / 10-12]. P'S = 10-12 *100,1L'1 =10-12 *1013 = 10 W m-2.
p'21 = P'S(2r0c)  = 10 *2*1,178 *347=8,175 103  ;  p'1 =90,4 ~91 Pa
f ' m = 10-2 *90,4 = 0,904 ~0,9 N.
5. Dans un son pur de fréquence F et de surpression maximale p1m, la pression varie F fois par seconde entre P0-p1m et  P0+p1m. Justifier que p1m ne peut en aucun cas dépasser P0. Dans le cas extrême où P0 = p1m, la puissance surfacique moyenne PS est remplacée par une puissance surfacique pic PSpic =p21m /(r0c).  Vérifier que le niveau d’intensité sonore pic vaut 194 dB. Que se passerait-il dans une voiture si ce niveau sonore était atteint ?
Si p1 m dépassait P0 alors
P0-p1m serait négatif ; une pression ne peut pas être négative.
PSpic =(1,013 105)2 / (1,178*347)=2,51 107 Pa.
L =10 log[2,51 107 / 10-12] =194 dB.
Il en résulterait des dégats irréversibles pour l'audition.

6. Recopier et compléter sur votre copie l’échelle des décibels de la figure.




II – Amortissement d’un oscillateur.
Première partie.
Lorsqu’un oscillateur élastique est faiblement amorti par une force de frottement proportionnelle à la vitesse, les oscillations sont pseudopériodiques et on démontre que :
- La pseudopériode est très proche de la période propre T0 = 2p (m/k)½.
- L’amplitude des oscillations décroit à chaque oscillation selon une loi géométrique de raison q<1.
Pour vérifier ces deux lois, on réalise un oscillateur élastique avec un ressort de raideur k=100 N/m et un mobile M de masse m=2,5 kg coulissant sur une tige horizontale. On note x = 0 l’abscisse de M lorsque que le ressort est à sa longueur à vide. On mesure l’évolution de x en fonction du temps par un dispositif informatique d’acquisition et on reproduit sur la figure  la courbe représentative de la fonction x(t).

  1) Mesurer la pseudopériode T le plus précisément possible.
T = 1 s.
2) Comparer la pseudopériode T mesurée et la période propre T0 calculée. L’écart est-il nul ? inférieur à 0,1% ?, inférieur à 1%, inférieur à 5 % ?
T0 = 6,28 (2,5 /100)½ =0,993 ~0,99 s. L'écart relatif est de 1 %.
3) Justifier que la vitesse initiale du mobile est nulle à l’instant t=0 s.
L'amplitude initiale est maximale à la date t=0, l'énergie mécanique est donc sous forme potentielle élastique. L'énergie cinétique initiale et donc la vitesse initiale sont nulles.
4) Mesurer les élongations maximales (exprimées en cm) xn du mobile aux dates t=nT : x0=x(0), x1=x(T), x2=x(2T),… x5=x(5T). Calculer ensuite le logarithme népérien de chacune de ces valeurs. Reporter ces valeurs dans un tableau.
x( cm)
4,05
3,53
3,18
2,73
2,47
2,21
ln(x)
1,40
1,26
1,16
1,02
0,90
0,79
ln q = [ln(xn) - ln(x0)] / n XXXX
-0,14
-0,12
-0,126
0,125
0,122
q
XXXX
0,87
0,89
0,88
0,88
0,88

5) Si la suite xn est une suite géométrique de premier terme x0 et de raison q, montrer que ln(xn) = ln(x0)+n ln(q). La loi de décroissance de l’amplitude des oscillations donnée dans l’énoncé est-elle vérifiée ? Préciser la valeur numérique de q.
xn = x0 qn ;
ln(xn) = ln(x0)+n ln(q).
L'hypothèse d'une suite géométrique de raison inférieure à 1 est vérifiée.
6) Le logiciel de repérage du mouvement du mobile ne peut détecter une élongation inférieure à a=0,2 cm. Estimer le nombre total n d’oscillations jusqu’à ce que xn = a et la date T à laquelle les oscillations ne seront plus détectables par le logiciel.
n = [
ln(xn) - ln(x0) ] / ln q = (ln0,2-1,40) / (-0,125) =24. T = 24 s.
7) Cet oscillateur forme-t-il une horloge ?
Cet oscillateur, non entretenu, ne peut pas constituer une horloge.









Deuxième partie.
On étudie les oscillations du même dispositif plongé dans de l’eau. On admet que la valeur de la force de frottement fluide est alors proportionnelle à la norme du vecteur vitesse f = av où a est un coefficient constant indépendant de la vitesse et de l’amplitude du mouvement, ne dépendant que de la forme du mobile M. On effectue des essais d’oscillations en faisant varier la masse m de M et en conservant le ressort de raideur k. On réalise 4 expériences avec  m1=2 kg, m2=1,5 kg, m3=1 kg, m4=0,5 kg
Des considérations théoriques conduisent à affirmer qu’on observe :
- un régime d’oscillations amorties quand le facteur de qualité Q = (km)½ / a est supérieur à 0,5.
- un régime sans oscillations quand Q<0,5.
8) Déterminer l’unité de a et vérifier que Q est sans dimension.
a est une force ( N ou kg m s-2 ) divisé par une vitesse ( m s-1). a s'exprime en kg s-1 ( M T -1).
k est  une force divisée par une distance ; k s'exprime en N m-1 ou en kg s-2.
(k m )½ s'exprime en kg s-1 ; Q est donc sans dimension.
9) En supposant que le régime d’oscillations amorties n’apparait uniquement que dans les cas des masses m1 et m2, estimer la valeur de a.
Oscillations amorties : (km)½ / a > 0,5 ; a < 2(km)½  ; a < 2(100*1,5)½ ; a < 24 kg s-1.
Pas d'oscillation : (km)½ / a < 0,5 ; a > 2(km)½  ; a > 2(100*1)½ ; a > 20 kg s-1.

III - Ondes sonores
1. Préliminaires.
a) Définir de manière complète une onde mécanique progressive.
Une onde mécanique est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, sans transport de matière, mais avec transport d'énergie.
b) Recopier le tableau n°1 sur votre copie et complétez les cases vides avec les expressions suivantes :
Onde sonore, onde le long d’une corde, onde lors de la compression-dilatation d’un ressort, onde à la surface de l’eau.

Onde à une dimension
Onde à deux dimensions
Onde à trois dimensions
Onde longitudinale
Onde lors de la compression-dilatation
d’un ressort

Onde sonore
Onde transversale
Onde le long d'une corde
Onde à la surface de l’eau.

2. Mesure de la célérité d’une onde.
On dispose de deux microphones M1 et M2 à la même distance d d’un diapason. On obtient les courbes représentées sur la figure n°3. On remarque que les signaux sont en phase.

a) Déterminer la période puis la fréquence du son émis par le diapason.
3 périodes correspondent à 10,1 cm et 6 millisecondes correspondent à 8,8 cm.
T = 2,30 ms et f = 1 / (2,30 10-3) =434 Hz.
On éloigne le microphone M2 peu à peu jusqu’à ce que les courbes soient de nouveau en phase. On réitère l’opération jusqu’à compter cinq positions pour lesquelles les courbes sont à nouveau en phase. La distance D entre les deux microphones est alors égale à 3,86 m.
b) Pourquoi compte-t-on plusieurs retours de phase plutôt qu’un seul ?
En comptant un grand nombre de retour de phase, on améliore la précision sur la longueur d'onde.
c) Définir la longueur d’onde. Déduire sa valeur numérique de l’expérience précédente.
La longueur d'onde est la distance parcourue par le front d'onde en une période.
4 l = 3,86 ; l = 0,965 m.
d) Calculer alors la célérité de l’onde.
c = l f =0,965 *434 = 419 m /s.
e) D’après les résultats expérimentaux obtenus à la question 2.d), le milieu de propagation des ondes sonores est-il dispersif ?
L'air n'est pas dispersif pour les ondes sonores.
3. Autre propriété des ondes sonores.
Lors d’un concert donné par des musiciens dans une salle, des spectateurs arrivés un peu retard s’étonnent d’entendre de la musique alors qu’ils sont encore dans le hall et donc séparés de la scène par un mur très bien isolé phoniquement. Ils remarquent cependant que la porte, d’une largeur de 1 m, est ouverte. La situation est représentée sur la figure n°4.

a) Quel phénomène physique permet d’expliquer l’observation faite par les spectateurs ?
La diffraction des ondes par la porte, dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que la longueur d'onde.
b) Les spectateurs ont-ils entendu préférentiellement dans le hall des sons graves (f = 100 Hz) ou des sons très aigus (f = 10000 Hz) ? Justifier la réponse en calculant les longueurs d’onde correspondantes.
f = 100 Hz : l = c / f = 419 /100 ~ 4,2 m.
f = 10000 Hz : l = c / f = 419 /10000 ~ 4,2 cm.
La diffraction est plus marquée pour les sons graves.



VI – Stockage numérique du signal sonore
Partie 1. Conversion Analogique-Numérique.
Quand on frappe un diapason, il émet un « La » : ses deux branches vibrent pendant quelques secondes à la fréquence f = 440 Hz, entraînant la vibration de l’air qui les entoure. Si on place devant le diapason un micro, la membrane de ce dernier vibre également et ce mouvement est converti en une tension électrique de même fréquence que le son.
1) Le signal électrique à la sortie du micro est un signal analogique. Justifier brièvement cette affirmation.
Le signal électrique est analogique à la sortie du micro, toutes les valeurs de la tension sont possibles.

2) Un ordinateur ne peut traiter que des signaux numériques. Définir ce qu’est un signal numérique.
Signal numérique : la courbe est un ensemble de fonctions constantes par intervalle, seules quelques valeurs sont possibles.
Pour traiter un son à l’aide d’un ordinateur (graver un CD par exemple), il faut convertir le signal analogique obtenu à la sortie du micro en signal numérique : c’est le rôle d’un convertisseur analogique-numérique (CAN). On peut décomposer la conversion en deux étapes : l’échantillonnage et la numérisation. Dans la pratique, ces deux étapes se font simultanément.
3) Que signifie « échantillonner » un signal analogique ?
Echantillooer un signal analogique consiste à capturer des valeurs à intervalle régulier puis à transmettre celles-ci.
4) Combien de valeurs peut prendre un échantillon numérisé sur 8 bits ?
 28 = 256 valeurs.
5) Dans le cas d’un CD audio, la numérisation se fait sur 2 × 16 bits (stéréo) avec une fréquence d’échantillonnage de 44,1 kHz. Quelle est, en Mo, la place théorique occupée sur un CD par une minute de musique non compressée ? Rappels : 1 octet = 8 bits ; 1 Mio = 220 octets.
Période de l'échantillonnage : 1 / (44,1 103) = 2,268 10-5 s.
Nombre de valeurs obtenues en une minute : 60 / (
2,268 10-5) =2,646 106.
Chaque valeur est codée sur 2*16 bits soit 4 octets.
Nombre d'octets : 4*
2,646 106 =1,058 107 soit 1,058 107 / 220 ~ 10 Mio.
Lecture d'informations.
Le CD est en polycarbonate ( matière plastique transparente ) recouvert d'une couche métallique réfléchissante ( aluminium en général ) elle même protégée par un vernis. La face supérieure peut être imprimée ou recouverte d'une étiquette. Les informations sont stockées sous forme de plats ou de cuvettes sur une spirale qui commence sur le bord intérieur d'un CD et finit sur le bord extéroeir. Les creux ont une profondeur de 0,126 µm et une largeur de 0,67 µm.

La tête de lecture est constituée d'une diode laser émettant une radiation de longueur d'onde dans le vide l0 = 780 nm et d'une photodiode détectant la lumière réfléchie par la surface métallisée du CD. La lumière émise par la diode traverse une lame semi-réfléchissante avant de se réfléchir sur un miroir. La lentille assure la mise au point du faisceau sur le disque. L'ensemble miroir lentille est monté sur un chariot mobile qui permet au faisceau laser de balayer un rayon du disque. La surface du disque défile devant le faisceau laser à une vitesse de 1,2 m/s quelle que soit la position du faisceau.

Le codage de l'information est réalisé par les transitions plat-creux ou l'absence de transition. On donne c = 3,00 108 m/s ; l'indice d'un milieu transparent est défini par la relation n = c / v, v étant la célérité de la lumière dans le milieu transparent.
1) Citer une propriété du laser iutilisée dans la lecture d'un CD.
La lumière laser est très directive.
2) Calculer la fréquence de la radiation monochromatique.
f = c / l0 = 3,00 108 / (780 10-9)=3,85 1014 Hz.
3) L'indice du polycarbonate est n = 1,55. Calculer la célérité de l'onde lumineuse dans le CD.
v = c / n = 3,00 108 /1,55 =1,94 108 m/s.
4) En déduire la longueur d'onde l de la lumière dans le polycarbonate sachant que la fréquence ne dépend pas du milieu traversé.
l = v / f = l0 / n = 780/1,55 = 503 nm.
Quand le faisceau laser frappe une cuvette, une partie du faisceau est réfléchie par le fond de la cuvette et le reste par le bord car le diamètre du faisceau est plus grand que la largeur de la cuvette. Ces ondes réfléchies peuvent interférer.

5 a Expliquer pourquoi les interférences sont destructives si h = 0,25 l.
La différence de marche entre les ondes réfléchies par le fond de la cuvette et par le bord est égale à 2 h soit 0,5 l.
les interférences sont destructives si cette différence de marche est un multiple impair de la demi-longueur d'onde.
5 b Vérifier que la profondeur d'une cuvette est bien choisie pour produire des interférences destructives.
0,25 l = 0,25 *503 ~126 nm  = 0,126 µm. Les creux ont une profondeur h = 0,126 µm.
5 c Comparer sans calcul l'éclairement de la photodiode quand le faisceau laser éclaire un plat ou une cuvette.
Lors de la détection d'un 1, le faisceau laser passe d'un plat à un creux ou inversement. Une partie du faisceau est alors réfléchie par un plat et l'autre par un creux. Tous les rayons composant le faisceau n'ont pas parcouru le même trajet.
Lors de la détection d'un zéro, le faisceau est entièrement réfléchi par un plat ou par un creux. Touts les rayons composant le faisceau ont donc parcouru le même trajet. Les interférences sont constructives et l'éclairement de la photodiode est maximal.
Lecteur Blu-ray.
On trouve depuis quelques années dans le commerce des lecteurs " Blu-ray" qui utilisent une diode laser bleue dont la longueur d'onde ( l0 = 405 nm ) est pratiquement égale à la moitié de celle des lecteurs classiques. Les disques Blu-ray peuvent stocker une quantité de données beaucoup plus importante : jusqu'à 25 Go.
1) Quel est le phénomène physique propre aux ondes qui empêche d'obtenir un faisceau de diamètre plus petit sur le CD ?
La diffraction par un obstacle dont les dimensions sont de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde du faisceau.
2) Expliquer pourquoi l'utilisation d'une diode laser bleue peut permettre de stocker plus d'informations sur un disque Blu-ray dont la surface est identique à celle d'un CD ?
La finesse de la gravure est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde et la distance entre deux "rayons" de la spirale est voisine de deux longueur d'onde. En diminuant celle-ci, on augmente la quantité de données gravées.
3) Doit-on conserver sur un disque Blu-ray, la même profondeur de cuvette que sur un CD classique ? Justifier.
La profondeur de la gravure doit être égale à 0,25 l : en modifiant la longueur d'onde de la lumière, on doit changer la profondeur des cuvettes.
4) Peut-on lire un CD sur un lecteur Blu-ray ? Une seule justification est demandée.
Non : la largeur du faisceau laser et la profondeur des cuvettes sont différentes.



  

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