Ejection du bouchon de liège de la bouteille de champagne. Concours général  2016.

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25. Lors de l’ouverture d’une bouteille de champagne, le bouchon peut s’avérer être un projectile dangereux en raison de la forte pression qui règne à l’intérieur de la bouteille (à température ambiante de 20 C, elle avoisine 6 bars). Estimer jusqu’à quelle hauteur il est possible d’amener un bouchon de liège dans l’air lorsqu’il est éjecté du gulotd’une bouteille pleine.
 On précise que 1 Pa = 1N·m−2.


A l'aide de la séquence d'images et sachant que la longueur d'un bouchon de champagne est égale à 5,0 cm, estimation de la vitesse du bouchon lors de son éjection. 
Le bouchon parcourt environ 10 cm en 0,01 s au moment de l'éjection.
Vitesse moyenne de départ : 0,10 /0,01 ~10 m /s.
En négligeant les frottement subis par le bouchon au cours de son mouvement dans l'air, déterminons la hauteur maximale atteinte.
La conservation de l'énergie mécanique du bouchon donne : h = v2 / (2g) ~ 102 / 20 ~ 5 m.

Autre méthode.




La bouteille étant verticale, on note Hmax la hauteur atteinte par le bouchon.
L'énergie gagnée par le bouchon est égale à E = mgHmax.
Cette énergie E est égale à la somme du travail moteur des forces de pression et du travail résistant des forces de frottements.
Travail des forces de pression :
Force de pression : F = S DP avec S = pR2et
DP0 = 6 105 -Patm = 5 105 bar. 
La quantité de matière de gaz entre le champagne et le bouchon est constante :
nRT =DP0 pR2h0 =
DP pR2h .
  DP =DP0h0 / h.
F = pR2 DP =DP0 pR2h0 / h.

R = 1,0 cm ; h0 = 2,0 cm ; H = 5 ,0 cm.
W = 5,0 105 *3,14 *10-4 *0,020 ln( 5/2)~2,9 J.









Travail des forces de frottements.
Lorsque la bouteille est fermée, les forces pressantes sont égaes aux forces de frottement .
f0 = DP0 pR2.
Hypothèse : la force de frottement est proportionnelle à la surface de contact bouchon-goulot de la bouteille.
f0 =
DP0 pR2 = k 2pR(H-h0) avec k une costante égale à :  DP0 R / (2(H-h0)).
On note z la longueur du bouchon en contact avec le goulot.
f =
k 2pR x = DP0 pR2 x / (H-h0).

W = -5,0 105 *3,14 *1,0 10-4 * 3,0 10-2 / 2 ~ -2,3 J
Energie gagnée par le bouchon : E~2,9-2,3 ~0,6 J.
Masse du bouchon m ~ 10 g.
Hmax = 0,6 / (0,010 *9,8) ~ 6 m.


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