Ejection du bouchon de liège de la bouteille de champagne. Concours général  2016.



25. Lors de l’ouverture d’une bouteille de champagne, le bouchon peut s’avérer être un projectile dangereux en raison de la forte pression qui règne à l’intérieur de la bouteille (à température ambiante de 20 C, elle avoisine 6 bars). Estimer jusqu’à quelle hauteur il est possible d’amener un bouchon de liège dans l’air lorsqu’il est éjecté du gulotd’une bouteille pleine.
 On précise que 1 Pa = 1N·m−2.


A l'aide de la séquence d'images et sachant que la longueur d'un bouchon de champagne est égale à 5,0 cm, estimation de la vitesse du bouchon lors de son éjection. 
Le bouchon parcourt environ 10 cm en 0,01 s au moment de l'éjection.
Vitesse moyenne de départ : 0,10 /0,01 ~10 m /s.
En négligeant les frottement subis par le bouchon au cours de son mouvement dans l'air, déterminons la hauteur maximale atteinte.
La conservation de l'énergie mécanique du bouchon donne : h = v2 / (2g) ~ 102 / 20 ~ 5 m.

Autre méthode.




La bouteille étant verticale, on note Hmax la hauteur atteinte par le bouchon.
L'énergie gagnée par le bouchon est égale à E = mgHmax.
Cette énergie E est égale à la somme du travail moteur des forces de pression et du travail résistant des forces de frottements.
Travail des forces de pression :
Force de pression : F = S DP avec S = pR2et
DP0 = 6 105 -Patm = 5 105 bar. 
La quantité de matière de gaz entre le champagne et le bouchon est constante :
nRT =DP0 pR2h0 =
DP pR2h .
  DP =DP0h0 / h.
F = pR2 DP =DP0 pR2h0 / h.

R = 1,0 cm ; h0 = 2,0 cm ; H = 5 ,0 cm.
W = 5,0 105 *3,14 *10-4 *0,020 ln( 5/2)~2,9 J.









Travail des forces de frottements.
Lorsque la bouteille est fermée, les forces pressantes sont égaes aux forces de frottement .
f0 = DP0 pR2.
Hypothèse : la force de frottement est proportionnelle à la surface de contact bouchon-goulot de la bouteille.
f0 =
DP0 pR2 = k 2pR(H-h0) avec k une costante égale à :  DP0 R / (2(H-h0)).
On note z la longueur du bouchon en contact avec le goulot.
f =
k 2pR x = DP0 pR2 x / (H-h0).

W = -5,0 105 *3,14 *1,0 10-4 * 3,0 10-2 / 2 ~ -2,3 J
Energie gagnée par le bouchon : E~2,9-2,3 ~0,6 J.
Masse du bouchon m ~ 10 g.
Hmax = 0,6 / (0,010 *9,8) ~ 6 m.


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