Radioactivité, mécanique, Doppler, induction, électronique, concours EMIA 2014

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Désintégration du potassium 40 en argon 40.
  1. Donner la signification de 4019K.
Le noyau de potassium compte 19 protons et 40-19 = 21 neutrons.
2. Ecrire l'équation de cette réaction nucléaire. Quelles lois sont utilisées ? De quel type de radioactivité s'agit-il ?
4019K ---> 01e +4018Ar.
Conservation de la charge : 19 = 1 +18 ; conservation du nombre de nucléons : 40 = 0 +40.
Radioactivité de type ß+ : émission d'un positon.
3. On donne la période radioactive du potassium 40 : t½ = 109 ans.
a. Qu'appelle -ton période radioactive ?
La période radioactive est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.

b. Exprimer en fonction du temps, le nombre d'atomes de potasssium 40 ( NK) et d'argon ( NAr) présents à une date t dans un échantillon contenant initialement N0 atomes de potassium 40.
NK = N0 exp(-l t) avec l t½ = ln(2).
NAr = N0-NK = N0(1-
exp(-l t).
4. Les cendres retrouvées sur un site contenaient du potassium 40. Au moment de sa formation, cette cendre ne contenait pas d'argon ( gaz volatil). L'âge de cette cendre est estimé à 3,7 millions d'années. Quel est le rapport entre le nombre d'atomes d'argon 40 et le nombre d'atomes de potassium 40 ?
NAr / NK(1-exp(-l t) / exp(-l t) = exp(l t)-1.
lt = ln(2) t / t½ =ln(2) x3,7 106 / 109=2,56 10-3.
NAr / NK =2,57 10-3.

Mécanique : voyage terre-lune.

Le premier étage de la fusée saturn V fonctionne pendant 160 s, il contient environ 2 t de carburant et d'oxygène liquide permettant de propulser la fusée à une altitude de 56 km. L'intensité supposée constante de la force de poussée F des réacteurs est de 3,3 107 N.
1. Si on néglige "l'effet de fronde" quel référentiel supposé galiléen peut-on choisir pour étudier dette première phase du mouvement ?
On peut utiliser un référentiel terrestre ou le référentiel géocentrique au début du lancement.
2 :Faire un inventaire des forces extérieures appliquées à la fusée en tenant compte de l’interaction de l’air avec la fusée. Les représenter au centre d’inertie de la fusée sur un schéma sans souci d’échelle (le décollage est supposé vertical).
L
e poids P, la poussée des moteurs F, les forces de frottements f sur les couches d'air, la poussée d'Archimède  FA due  à l'air.



3. Après avoir énoncé la seconde loi de Newton, expliquer pourquoi ne peut-on pas l' appliquer , telle qu’elle est énoncée, à la fusée lors de son ascension ?

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées au système est égale à la masse du système multipliée par le vecteur accélération de son centre d'inertie.
Les moteurs consomment du carburant et du comburant ( dioxygène liquide ) au décollage : la masse de la fusée  n'est pas constante.

4. Quelle hypothèse peut-on, cependant, poser pour appliquer cette loi au tout début du lancement ?
Sur une durée aussi petite que possible, la masse de la fusée est  à peu près constante.

5. En ne considérant que le poids et la poussée, calculer la valeur de l’accélération de la fusée à l’instant initial du lancement.

Masse de la fusée au moment du décollage 3037 t.

On écrit la seconde loi de Newton sur un axe orienté vers le haut : F-P = M a.
F-Mg=Ma ; a = F / M -g  ;
M = 3,037 x 10 3 tonnes =3,037 106 kg.
a = 3,3 x 10 7 / ( 3,037 106 )-9,8 =1,067 ~1,07 m s-2.

Mise en orbite autour de la Terre du système {S-IVB + Apollo XI}

A 68 km d’altitude, les réservoirs vides du premier étage sont largués et les cinq moteurs du deuxième étage sont allumés pendant 400 s. Après largage du deuxième étage, l’unique moteur du troisième étage est mis en fonction pendant 140 s permettant la satellisation sur une orbite circulaire d’attente à l’altitude h = 180 km.

Dans la suite, on note {S} le système formé du troisième étage et du vaisseau Apollo XI.

On étudie le mouvement du système {S}, de centre d’inertie G et de masse m=120 t, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On ne tiendra compte que de l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le système {S}..

 
6. Donner la définition du référentiel géocentrique.
Le référentiel héliocentrique a pour origine le Soleil et des axes pointant vers des étoiles lointaines qui paraissent fixes.
Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes parallèles à ceux du référentiel héliocentrique.
7. Donner l’expression vectorielle de la force exercée par la Terre sur le système {fusée} en utilisant le vecteur unitaire défini sur la figure. Reproduire la figure sur la copie et représenter cette force (sans souci d'échelle).

8. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'expression vectorielle de l'accélération du centre d’inertie du système {fusée}. En supposant que le mouvement du système {fusée} est circulaire dans le référentiel géocentrique, montrer que le vecteur accélération est centripète. En déduire que le mouvement est uniforme.


Le vecteur accélération est  colinéaire au vecteur unitaire et de sens contraire ; le vecteur accélération étant  dirigé vers le centre de la Terre est centripète.

La valeur de la vitesse étant constante, le mouvement est uniforme.

9. Calculer  la valeur de la vitesse du centre d’inertie G du système {S}.

RT+h =6,37 x 10 3 +180 km =6,55 106 m
 v =[6,67 10-11 *5,98 x 10 24 / 6,55 106]½=7,80 103 m/s = 7,80 km/s ~ 7,8 km/s.

Une fois placée en orbite basse la système effectue un tour et demi autour de la terre. Puis le moteur du troisième étage est allumé pour injecté l'ensemble sur une orbite de transfert vers la lune. Une fois arrivé à proximité de la lune, le moteur du module de commande est allumé pour freiné la descente. Si ce freinage n'est pas réalisé, la trajectoire permet au vaisseau de revenir se placer en orbite terrestre après avoir fait le tour de la lune sans utiliser ses moteurs. Pour quelle mission Appolo cette disposition a-t-elle été fort utile ?
Appolo 13, suite à l'explosion d'un réservoir d'oxygène.





Physique des ondes.

On cherche à déterminer la vitesse d'un véhicule de police se déplaçant sirène hurlante. La sirène émet un son de fréquence f = 580 Hz. Le véhicule se déplace vers la droite à la vitesse v.
1. Généralités sur les ondes.
1.1 Définir une onde mécanique progressive
.Une onde mécanique progressive est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel sans transport de matière, mais avec transport d'énergie.

1.2. Pourquoi une éventuelle communication par onde sonores entre la terre et la lune ne serait-elle pas possible ?
Les ondes sonores ne se propagent pas dans le vide.
1.3 Donner un exemple d'onde pouvant se déplacer dans le vide.
Les ondes électromagnétiques.
1.4  Dans le cas d'une onde sonore, la direction de la perturbation est parallèle à celle de la direction de la propagation. Comment peut-on qualifier ces ondes ?
Ondes mécaniques longitudinales.
2. Dans un premier temps, le véhicule se rapproche d'un observateur immobile..
Pendant l'intervalle de temps T, le son parcourt la distance l. Pendant ce temps le véhicule parcourt la distance d = vT. La longueur d'onde l' perçue par l'onbservateur à droite de la source S a donc pour expression l' = l -vT.(1).
2.1. Rappeler la relation liant la vitesse de propagation c d'une onde, la longueur d'onde et la fréquence.
l = c / f.
2.2 La relation (1) permet d'écrire f ' = f c / (c-v). f ' étant la fréquence sonore perçue par l'observateur.
2.3. Le son perçu est-il plus grave ou plus aigu ? Justifier.
c / (c-v) est supérieur à 1 ; f ' est donc supérieure à f : le son perçu est plus aigu.
3. Dans un deuxième temps, le véhicule s'éloigne de l'observateur à la même vitesse v.
3.1 Donner sans démonstration, les expressions de la nouvelle longueur d'onde et de la nouvelle fréquence perçue par l'observateur.
l ''= l +vT. f '' = f c / (c+v).
3.2. Le son perçu est-il plus grave ou plus aigu ? Justifier.
c / (c+v) est inférieur à 1 ; f '' est donc inférieure à f : le son perçu est plus grave.

4. Exprimer en km / h, la vitesse du véhicule qui se rapproche de l'observateur sachant que ce dernier perçoit un son de fréquence f ' = 610 Hz.
f ' = f c / (c-v) ; f ' (c-v) = f c ; f c / f ' = c-v ; v = c(1-f / f ') = 340(1-580 / 610) =16,7 m/s
ou 16,7 x3,6=60,2 km /h.

5. Quel nom porte le phénomène mis en évidence ? Effet Doppler.









Cinématique du point.
Un nageur parti de A se déplace à la vitesse V par rapport à l'eau d'une rivière de largeur d. On suppose que le courant de cette rivière possède une vitesse constante Ve par rapport aux berges. Ve < V.

Partie I . Le nageur effectue les trajets aller-retour AA1A en un temps t1 et AA2A en un temps t2.
1. Rappeler les caractéristiques d'un vecteur. Donner les caractéristiques du vecteur vitesse de l'eau par rapport à la berge.
Un vecteur est défini par son point d'application, sa direction, son sens et sa norme. Le vecteur vitesse de l'eau est horizontal, dirigé vers la gauche, de norme Ve .
2. Donner une relation entre la vitesse du nageur par rapport à l'eau, la vitesse de l'eau par rapport à la berge et une troisième vitesse que vous définirez. Représenter graphiquement cette relation.
On note VN/B, la vitesse du nageur par rapport à la berge. Voir ci-dessus.
3. Exprimer t1 en fonction de d, V et Ve.
VN/B est perpendiculaire à la rive.
  VN/B =(V2-Ve2)½.  t1 = 2d / (V2-Ve2)½.
4. Exprimer t2 en fonction de d, V et Ve.
A l'aller, VN/B a même direction et même sens que Ve, au retour VN/B a même direction et le sens contraire de Ve :
t2 = d /(V+Ve) +d / (V-Ve)=2Vd / [(Ve+V)(V-Ve) ]= 2Vd / (V2-Ve2).
5. Exprimer le rapport t2 / t1 en fonction de Ve/V.
t1 / t2 =(V2-Ve2)½ / V = [1-(Ve/V)2]½ .
6. Sachant que t2 = 2t1 = 7 min, déterminer la direction de la vitesse V du nageur par rapport à la berge qui se déplace à contre-courant pour atteindre A1 et le temps t0 qu'aurait mis le nageur pour parcourir l'aller-retour AA1A en absence de courant. Ve = 1,8 km/h. d = 98 m.
0,25=1-(Ve/V)2 ; (Ve/V)2 =0,75 ; Ve/V=0,866 ; sin q =0,866 ; q =60°.
t0 = 2d /V avec V = 1,8 / 0,866=2,078 km/h ou 2,078 / 3,6=0,577 m/s.
t0 =2 x98 / 0,577=339,5 s ou 5 min 40 s.
Partie II.
Le nageur quitte le bord A au moment où il se trouve à la distance d de l'avant d'un bateau, de largeur L, qui se déplace à la vitesse constante U par rapport à l'eau, en suivant le bord de la rivière dans le sens A vers A2.
7. Faire un schéma illustrant le problème en indiquant la trajectoire du nageur  pour éviter le bateau.
8. Déterminer la direction et la grandeur de la vitesse absolue minimale du nageur pour éviter le bateau. L = 20 m ; U = 19,8 km/h.
9. Déterminer alors la direction et la grandeur de la vitesse V du nageur par rapport à l'eau.

Vitesse du bateau par rapport à la berge : UB/B =U-Ve. Le bateau parcourt la distance d en t seconde : t = d /(U-Ve).
Vitesse du nageur par rapport à la berge VN/B. Le nageur parcourt la distance L en t' seconde : t' = L / VN/B.
Le nageur évite le bateau si t' < t : L / VN/B <d /(U-Ve) ; VN/B >L(U-Ve) /d = 20(19,8-1,8) / 98 = 3,67 km/h.
V = [V2e +V2N/B ]½= [1,82 +3,672 ]½=4,09 km/h.
sin q = Ve / V =  1,8 / 4,09 = 0,440 ; q=26°.



Induction électromagnétique.
Un conducteur de L=40 cm de longueur se déplace en glissant sur un circuit fermé à vitesse constante  v= 3 m/s. L'ensemble est placé dans un champ ùmagnétique uniforme perpendiculaire au plan contenant le circuit et le barreau de norme B = 0,05 T.

1. Quel est le champ électromoteur magnétique induit dans le barreau ?
La fem induite e associé au champ électromoteur est égale à la circulation du champ électromoteur sur le circuit C.

; Em = v B = 3 x0,05 = 0,15 V m-1.


2. Quelle est la fem induite dans le barreau ?
e = -dF /dt avec dF =B Lvdt, flux coupé pendant la durée dt.
e= -BLv = -0,05 x0,40 x3 = -0,06 V.
3.On note R =0,1 ohm la résistance du circuit, quelle est la valeur du courant induit ?
i = -e /R = -0,06 / 0,1 = -0,6 A. Le signe indique que le courant induit a le sens contraire de I.
4. Quelle force faut-il exercer sur le barreau pour lui conserver une vitesse constante ?
Le sens du corant induit est tel que par ces effets électromagnétiques il s'oppose au déplacement de la barre. La force de Laplace induite est colinéaire à la vitesse mais de sens contraire.
F = i LB = 0,6 x0,40 x0,05 = 0,012 N.
5. Quelle puissance mécanique doit-on fournir ?
Fv = 0,012 x3 = 0,036 W.
6. Quelle puissance électrique récupère-t-on ?
Puissance électrique totale : e i = 0,06 x0,6 = 0,036 W.
Puissance dissipée par effet Joule Ri2 = 0,1 x0,62 = 0,036 W.

Electronique.
1. L'association de la source idéale de tension de fem E1 et de la résistance R1 modèlise quel type de dipôle réel ?
Générateur réel de tension.
2. Déterminer l'intensité i dans la résistance R3 :
2.1 à partir du théorème de Millman ou du principe de superposition.
2.2 A partir du théorème de Thévenin ou de Norton.
A.N : R1 = 20 ohms ; R2 = 50 ohms ; R3 = 100 ohms ; E1 = 4 V ; I2 = 1 A.

I = 50 x(20-4) / ((20+50) x100)=0,114 A.

Montage avec amplificateur opérationnel idéal.
1. Calculer la fonction de transfert H(jw).
2. En déduire le gain et la phase.

3. Tracer le diagramme de Bode. A quoi peut servir ce montage ?
Filtre passe bas actif du premier ordre.

4. Calculer l'impédance d'entrée du montage.
L'impédance d'entrée est égale à la tension d'entrée divisée par l'intensité d'entrée.
En basse fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
L'impédance d'entrée est égale à l'impédance de la résistance d'entrée R1.



  

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