Etude de fonction, équation différentielle.
Bts chimiste 2016.




Partie A :
La loi de refroidissement de Newton s’énonce ainsi : « la vitesse de refroidissement d’un corps chaud inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant. ». On appelle T0 la température (en °C) du milieu ambiant, f (t ) la température (en °C) d’un produit chimique à l’instant t (en min).
D’après la loi énoncée, f est solution de l’équation différentielle :
(E) : y′ = a(y −T0).
où y est une fonction de variable t définie et dérivable sur [0 ; +oo[, y′ sa fonction dérivée et a un coefficient de proportionnalité non nul.
1. Résoudre sur [0 ; +oo[ l’équation différentielle (E0) : y′ −ay = 0.
y = A exp(-a t), avec A une constante.
2. Déterminer un réel c tel que la fonction h constante définie sur [0 ; +oo[ par h( f ) = c soit une solution particulière de l’équation différentielle (E).
h' = 0, repport dans E :
a(c −T0) =0 ; c = T0.
3. En déduire la solution générale de (E).
y = A exp(-a t) +T0.
4. Dans une pièce où la température est T0 = 20 °C, une personne verse dans un récipient un produit chimique dont la température initiale est 80 °C.
Montrer que la température du produit à l’instant t vérifie : f (t ) =60
exp(-a t) +20.
y(0) = A exp(0) +20 = 80 ; A = 60 °C.
f (t ) =60 exp(-a t) +20.
5. Sachant que 2 minutes plus tard, le produit est à 60 °C.
a. Déterminer par le calcul algébrique la valeur exacte de a.
b. Vérifier que a~ −0,2.
f (2 ) =60 exp(-2a ) +20 = 60 ; .
40 / 60 =
exp(-2a ) ; 2 /3 = exp(-2a ) ;
-2a = ln(2/3) ;
a =0,5 ln 1,5) ~0,2.




Partie B.
On considère la fonction f définie sur [0 ; +oo[ par
f (t )= 60exp(−0,2t) +20.
La représentation graphique C de f dans un repère orthogonal est donnée.

1. Interpréter l’ordonnée du point de C d’abscisse 0.
80°C est la température initiale.
2. a. À l’aide du graphique, déterminer la limite de f en +oo.
b. Interpréter ce résultat : à quoi correspond-il dans le contexte de la partie A ?
La limite de f(t) est 20 lorsque  le temps devient grand.
La température finale du produit est 20°C, température de la pièce.











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3. Soit g la fonction définie par 
où t est supérieur ou égal à 5.
g désigne la température mesurée par un appareil plongé dans le corps.
a. Calculer g (t ). En donner une interprétation.

g(t) représente l'aire comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 5 et x=t. Cette aire est divisée par 5.
b. Compléter le tableau de valeurs (on arrondira à 10−1) fourni, puis tracer la courbe de g sur le graphique donné.
Quelle remarque peut-on faire ?
t 5 10 15 20 25 50 100 150
g(t) 57,9 33,9 25,1 21,9 20,7 20,0 20,0 20,0

Au bout d'un temps supérieur à 50 minutes, g(t) est constante, égale àla température de la pièce..


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