Lois exponentielle, binomiale, intervalle de confiance.
Bts 2016.

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Une entreprise conçoit des composants électroniques pour l"industrie automobile.
A. Loi exponentielle.
Cette entreprise fabrique notamment un certain type de transistors.
On note T la variable aléatoire qui, à un transistor de ce type prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement exprimée en heures. On admet que T suit la loi exponentielle de paramètre l = 5×10−6.
On rappelle que :
- pour tout nombre réel positif t , on a P(T <= t ) = 1−e−λt .
- l’espérance E(T ) de la variable aléatoire T est égale à E(T )=1 / l.
1. Déterminer P(T <=5000).
P(T <=5000) = 1-exp(-5 10-6 *5000) =0,0247~0,025.
2. Déterminer la probabilité qu’un transistor prélevé au hasard fonctionne plus de 10 000 heures.
P(T <=10000) = 1-exp(-5 10-6 *10000) =0,0488.
P(T >10000) = 1-0,0488 =0,951 ~0,95.
3.  Cette question est une question à choixmultiples. Une seule réponse est exacte. On ne demande aucune justification.
La durée moyenne de fonctionnement d’un transistor de ce type est :
environ 200 000 ans ; environ 23 ans ; environ un an.
Durée moyenne de fonctionnement E(T) = 1 /(5 10-6) =200 000 heures ou environ 23 ans.
B. Probabilités conditionnelles.
L’entreprise dispose de deux sites de production : un premier site désigné par « site A » et un second site désigné par « site B ». Ces deux sites produisent des transistors.
On admet que 80% des transistors sont fabriqués sur le site A. On estime que 1% des transistors fabriqués sur le site A sont défectueux, tandis que 3% des transistors fabriqués sur le site B sont défectueux.
On prélève au hasard un transistor dans l’ensemble de la production de transistors de cette entreprise. Tous les transistors ont la même probabilité d’être prélevés.
On considère les évènements suivants :
A : « le transistor prélevé provient du site A » ;
B : « le transistor prélevé provient du site B » ;
D : « le transistor prélevé est défectueux ».
1. Donner, à partir des informations figurant dans l’énoncé, les probabilités P(A), P(B), PA(D) et PB (D). (On rappelle que PA(D) est la probabilité de l’évènement D sachant que l’événement A est réalisé).
P(A) = 0,80 ; P(B) = 0,20 ;

PA(D) =
P(A et D ) / P(A) =0,80 *0,01 /0,8 = 0,01 ;
PB(D) =P(B et D ) / P(B) =0,20 *0,03 /0,2 = 0,03.
2. a. Construire un arbre da probabilité ou un tableau correspondant à la situation.

b. Calculer P(D).
P(D) = 0,008 +0,006 = 0,014.
3. Calculer la probabilité que le transistor prélevé provienne du site A sachant qu’il est défectueux.
PD(A) =P(A et D ) / P(D) =0,008 / 0,014 =0,571.




Loi binomiale.
Un constructeur automobile sous-traite à cette entreprise la fabrication des cartes d’acquisition GPS pour la navigation embarquée ce qui nécessite des transistors.
L’entreprise constitue à cet effet un stock important de transistors. On prélève au hasard dans ce stock 150 transistors pour vérification.
On note E l’évènement : « un transistor prélevé au hasard dans le stock est défectueux».
On suppose que P(E)= 0,014. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement des 150 transistors à un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui à tout prélèvement de 150 transistors ainsi défini, associe le nombre de transistors défectueux.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Les prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 150. La probabilité qu'un transistor soit non conforme est constante p = 0,014. La probabilité  qu'une cellule soit conforme est q = 0,986.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 150 et p = 0,014.
2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice P(X = 2).
p(X=2)=
C2150 q147 p2 =150*149 / 2 *0,986147 *0,0142=0,276.
3. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins un transistor défectueux parmi le prélèvement de 150 transistors.
1-P(X=0) = 1-
C0150 q150 p0 =1-0,986150 =0,879.










Intervalle de confiance.
Dans cette partie on s’intéresse à la fabrication de condensateurs. On souhaite estimer la proportion p de condensateurs non conformes dans l’ensemble de la production. Pour cela on prélève au hasard un échantillon de 200 condensateurs dans la production. Cette production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 200 condensateurs.
On constate que 12 condensateurs de cet échantillon ne sont pas conformes.
1. Donner une estimation ponctuelle de la proportion inconnue p de condensateurs non conformes dans la production.
p = 12 / 200 = 0,06.
2. Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon de 200 condensateurs ainsi prélevé dans la production, associe la fréquence de condensateurs non conformes. On suppose que F suit la loi normale de moyenne inconnue p et d’écart type s=[p(1-p) /200]½.
a. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95%.
s=[0,06*0,94 /200]½ = 0,0168.
1,96 s =0,033.
Intervalle de confiance au seuil de 95 % : [0,06 -0,033 ; 0,06 +0,033 ] soit : [0,027 ; 0,093 ]
b. Est-on certain que la proportion p appartienne à cet intervalle de confiance ? Pourquoi ?
Non, le risque d'erreur est de 5 %.



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