Probabilités, loi binomiale, loi de Poisson, loi normale. Bts groupe D 2014.

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Exercice 2.
Une usine fabrique en série des pompes de surface destinées à l’irrigation agricole.
Le cahier de charges demande que ces pompes aient un débit de 6 m3· h−1 (6 m3 par heure) avec une tolérance de ±0,25 m3 · h−1.
En sortie de chaîne de fabrication , une pompe peut présenter deux types de défauts indépendants : un défaut de débit et un défaut mécanique.
Partie A : le défaut mécanique.
Une étude statistique permet d’estimer que 1% des pompes fabriquées présente un défaut mécanique. Les pompes sont conditionnées par caisses de cinquante.
On considère, pour l’étude, que la constitution d’une caisse peut être assimilée à un prélèvement au hasard et avec remise de cinquante pompes dans la production, très importante, de l’usine.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque caisse de cinquante pompes, associe le nombre de pompes présentant un défaut mécanique.
1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
Chaque prélèvement  est une épreuve de Bernoulli, avec les deux évènements contraires :
succès : le sachet est non conforme  p = 0,01 ;
échec :  le sachet est conforme q = 1-p = 0,99.
Cette épreuve est répétée 50 fois ( n = 50 ) et  les épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n =50 et p=0,01.

2. a. Calculer la probabilité qu’une caisse contienne une pompe présentant un défaut mécanique. Arrondir le résultat aumillième.
P(X=1) = Cn1 p1 qn-1 = 50*0,01 *0,9949 =0,30556 ~0,306.
b. Calculer la probabilité qu’une caisse contienne au moins deux pompes présentant un défaut mécanique. Arrondir le résultat au millième.
P(X=0) = Cn0 p0 qn = 1*1 *0,9950 =0,605.
1-P(X=0)-P(X=1) =1-0,605-0,30556 ~0,089.
3. On décide d’approcher la loi de X par une loi de Poisson de paramètre l.
a. Quelle valeur du paramètre l choisit-on? Justifier.
l = np = 50*0,01 = 0,5.
b. On note Y une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre l.
 En utilisant la variable aléatoire Y, estimer la probabilité qu’une caisse contienne au moins quatre pompes présentant un défaut mécanique. Arrondir le résultat aumillième.
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1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)-P(Y=3) =1-0,6065-0,3033-0,0758-0,0126 =0,0018 ~0,002.




Partie B. Le défaut de débit.
Une pompe est conforme au cahier des charges pour le débit si celui-ci est compris entre 5,75 m3
· h−1 et 6,25 m3· h−1. Dans le cas contraire, la pompe présente un défaut de débit. On note Z la variable aléatoire qui associe à chaque pompe produite son débit exprimé en m3· h−1. On suppose que la variable aléatoire Z suit une loi normale de moyenne m = 6 et d’écart type s = 0,15.
Calculer la probabilité qu’une pompe, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut de débit. Arrondir le résultat au millième.

 p(5,75 <= Z <=6,25) = p(-0,25 / 0,15 <= (Z-m) / s<=0,25 / 0,15) = p(-1,67 <= (Z-m) / s <=1,67)
(Z-m) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(1,67)-1.
Les tables donnent 
P(1,67) =0,952.
Probabilité pour qu'une bouteille soit conforme : 2P(1,67)-1 =2*0,952-1  ~0,904.










Partie C : estimation du débitmoyen des pompes d’une livraison.
Une entreprise commande un nombre important de pompes.
Lors de la livraison, le service qualité de l’entreprise cherche à estimer la moyenne inconnue µ, exprimée en m3· h−1, des débits des pompes qui lui sont livrées à partir de mesures faites sur un échantillon de cinquante pompes prises dans la livraison.
On considère que cet échantillon peut être assimilé à un prélèvement au hasard et avec remise de cinquante pompes dans la livraison.
1. Les résultats des mesures effectuées sont donnés dans le tableau ci-dessous :
Débit 5,7 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,3
Nombre de pompes m3· h−1 9 8 10 9 10 3 1

Calculer la moyenne et l’écart type de la série de mesures ci-dessus. On arrondira l’écart type au millième.
Moyenne : 5,932 ~5,93
m3· h−1 ;  écart type 0,163.
2. On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 50 pompes choisies au hasard dans la livraison, associe lamoyenne des débits de ces 50 pompes, exprimée en m3 · h−1.
On admet que Xmoy suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d’écart type 0,16 / 50½ =0,0226.
a. Déterminer un nombre a tel que p(µ−a <= Xmoy <=µ+a) = 0,95.
Donner une valeur approchée au millième par excès de a.
Les tables donnent t = 1,65 ; a = 0,0226*1,65 = 0,0373.
b. Donner un intervalle de confiance de la moyenne µ des débits des pompes livrées avec un coefficient de confiance supérieur ou égal à 95%.
[5,93 -0,0373 ; 5,93 +0,0373 ] soit : [ 5,89 ; 5,97 ].


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