Le pont du Gard. Bts géomètre 2012.

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Photographie.
L'objectif de l'appareil photographique est considéré comme étant constituéf d'une seule lentille, notée L. Pour obtenir une photographie réussie, il faut que I'image A'B' du pont donnée par I'objectif se forme sur le capteur numérique de I'appareil photographique. Ce capteur est placé dans le plan focal image de la lentille L. Pour prendre la photographie, le géomètre se place à une distance d du pont. On considère que la base du pont se trouve sur l'axe optique de la lentille L.
Hauteur du pont AB=48 m. Distance géomètre - pont : d= 500 m. Distance focale de la lentille L de centre optique O : f ' = 50 mm. Dimensions du capteur : 53,9 x 40,4 mm.
1. Le diamètre apparent.
1.1. Exprimer littéralement le diamètre apparent a du pont pour le géomètre.
a ~AB / d.
1.2. Donner sa valeur numérique en radian.
a ~48 / 500 = 0,096 radian.
2. L'objectif de I'appareil photographique.
La lentille L utilisée comme objectif est-elle convergente ou divergente ? Justifier votre réponse.
La distance focale image f ' est positive : la lentille est convergente.
3. L'image du pont.
3.1. Montrer que, dans les conditions de prise de la photographie, l'image du pont se forme bien sur le capteur.
d est très supérieure à f ' ; l'objet, le pont, est considérée à l'infini. l'image se forme dans le plan focal image de la lentille, c'est à dire sur le capteur.
3.2. Calculer le grandissement g.
g = f ' / -d = -0,050 / 500 =-1,0 10-4.
3.3. En déduire la hauteur A'B' de I'image sur le capteur.

A'B' = AB |g| = 48 *1,0 10-4 = 4,8 10-3 m = 4,8 mm.
4. Le choix du téléobjectif.
Le géomètre décide d'utiliser un téléobjectif en remplacement de I'objectif précédent. Il possède deux téléobjectifs : l'un de distance focale f1'=400 mm et I'autre de distance focale f '2= 600 mm. Lequel doit-il choisir pour obtenir une image du pont du Gard qui occupe l'essentiel du capteur sans pour autant dépasser les limites ? Justifier le choix.
La hauteur du capteur doit être égale ou supérieure à la hauteur de l'image : A'B' inférieure ou égale à 40,4 mm = 0,0404 m.
|g| =A'B' / AB inférieur ou égal à 0,0404 / 48 = 8,42 10-4.
f ' =
|g| d inférieure ou égale à 8,42 10-4*500 =0,42 m = 420 mm.
On choisit le téléobjectif de distance focale f '1.




La construction du pont.
Hauteur du premier niveau des arches du pont h=24 m. Masse d'une pierre m= 500 kg.
Intensité de la pesanteur g = 9,81 m.s-2. Les frottements seront négligés.
l. La montée de pierres.
Pour monter une pierre au sommet du pont, la durée nécessaire était d'environ Dt =3 minutes et la
force que devait exercer la grue sur la pierre était F= 8,3 103 N.
1 .1.a. Exprimer le travail de la force exercée par la grue.
W = F AB.
1.1.b. Donner sa valeur numérique.
W = 8,3 103 *48 =3,984 105 ~4,0 105 J.
l.2.a. Expimer la puissance de la force exercée par la grue.
P = W / Dt.
1.2.b. Donner sa valeur numérique.
P =
3,984 105 /(3*60)=2,2 103 watts.
2. L'incident.
Même arrivée au sommet du pont au moment où la pierre s'immobilise, une rupture du câble était toujours possible. Un tel incident entraînait la chute verticale de la pierre. Généralement la pierre rebondissait alors sur le premier niveau des arches
2.1. Exprimer puis calculer l'énergie potentielle de pesanteur Epp de la pierre au moment de la
rupture du câble. On prendra pour origine des énergies potentielles Epp= 0 à z : 0 (aux pieds du pont).
Epp = mg AB =500*9,81*48 =2,3544 105 ~2,4 105 J.
2.2. Expnmer puis calculer par une méthode de votre choix la valeur de la vitesse V de la
pierre au moment de l'impact sur le premier niveau des arches.
Conservation de l'énergie mécanique : Epp( z=48) = Epp(z=24) +½mv2.
mgh =
½mv2 ; v=(2gh)½ =(2*9,81*24)½ =21,7 ~ 22 m /s.
3. La menace
Au moment de I'impact sur le premier niveau, la trajectoire de la pierre change de direction.
A cet instant, la vitesse V fait alors un angle de 15° avec I'horizontale. Le librator (ingénieur topographe de l'époque) se trouve à une distance OP : 30 m de la base du pont.










3. 1.a. Déterminer les composantes de l'accélération de la pierre dans le repère (O, x, z).
ax=0 ; az =-g= -9,81 m s-2.
3.1.b. En déduire les composantes de sa vitesse et de sa position.
Vitesse initiale : v0x = 21,7 cos 15 =20,96 ~21 m /s ; v0z = 21,7 sin 15 =5,62 ~5,61 m /s.
La vitesse est une primitive de l'acclération : vx = v0x = 21 m /s ; vz =-gt +v0z =-9,81 t +5,6.
3.1.c. En déduire l'équation de sa trajectoire.
 Position initiale : x0 = 0 ; z0 = h = 24 m.
La position est une primitive de la vitesse : x =v0x t = 21 t soit t = x / 21.
z = -0,5*9,81 t2 + 5,6 t +24.
z = -0,5 *9,8 /212 x2 +5,6 / 21 x +24 ; z = -1,1 10-2 x2 +0,27 x +24.
3.2. Le librator est-il menacé par la chute de la coordonnées du point de chute de la pierre.
Au point d'impact au sol, z = 0. Résoudre -1,1 10-2 x2 +0,27 x +24 =0.
Discriminant : b2-4ac = 0,272 +4*24*1,1 10-2 = 1,13 ; D½ =1,06.
On retient la solution positive : (-0,27 -1,06) / (-2*0,011) ~61 m.
Le librator n'est pas menacé par la chute.

C : Le captage des eaux.
L'aqueduc capte la totalité des eaux de la source de la Fontaine d'Eure, source jaillit à l'air libre avec un débit volumique constant.
On peut admettre que toute l'eau de la source est captée et circule dans la conduite de l'aqueduc. Cette conduite, qu'on admettra circulaire, débouche à I'air libre à Nîmes où l'eau coule dans un bassin.
Altitude de I'aqueduc au niveau de la source . z1=73,0 m
Altitude de I'aqueduc à Nîmes : z2=58,0 m.
Débit volumique constant de la source : Qv= 380 L.s-1.
Masse volumique de I'eau : r= 1,00x103 kg.m-3
Diamètre de la conduite circulaire : D= 1,20 m
Pression atmosphérique : patm= 1,00x105 Pa.
L'eau est assimilée à un fluide parfait et incompressible.
1. La vitesse d'écoulement dans la conduite.
Exprimer puis calculer la valeur v1 de la vitesse de l'eau dans la conduite.
v1 = Qv / (pR2) avec Qv =0,380 m3 s-1 et R = 0,60 m.
v1 =0,380 /(3,14*0,62)=0,336 m /s.
2. La vitesse d'écoulement à la sortie de la conduite
On rappelle I'expression de I'invariant de Bemoulli : p + r v2/2 + rgz =constante.
2.1.a. Donner, pour chaque grandeur physique, son unité dans le système intemational.
p: pression en pascal ( pa) ; r : masse volumique en kg m-3 : v : vitesse en m /s ; z : altitude en mètre.
2.I.b. Vérifier I'homogénéité de la relation.
Chaque terme doit avoir la dimension d'une pression soit  N m-2 ou kg m-1 s-2.
r v2/2 : kg m-3 m2 s-2 =kg m-1 s-2.
rgz : kg m-3 m s-2 m =kg m-1 s-2.
2.2.a. Quelle est la valeur de la pression p1 à I'entrée de I'aqueduc ?
L'eau est en contact avec l'air : p1 = patm.
2.2.b. Quelle est la valeur de la pression p2 à la sortie de I'aqueduc ?
L'eau est en contact avec l'air : p2 = patm.
2.3.a. Exprimer littéralement la valeur de la vitesse v2 de l'eau à la sortie de I'aqueduc.
p1 + r v12/2 + rgz1 =p2 + r v22/2 + rgz2 ;
r v12/2 + rgz1 = r v22/2 + rgz2 ;
v12/2 + gz1 = v22/2 + gz2 ;
v12 + 2gz1 = v22+2gz2 ;
v2 = [2g(z1-z2) +
v12]½ = [2*9,81(73-58)+0,3362]½ =17,16 ~17,2 m/s.
3. La vitesse de l'écoulement au cours du temps.
L'aqueduc s'est progressivement bouché au cours des siècles. Le débit de la source est dorénavant de Q'v =140 L /s et la valeur de la vitesse de l'eau dans la conduite v'=0,23 m/s.
Calculer l'épaisseur de la couche de calcaire qui s'est formée dans la conduite et qui a réduit uniformément le diamètre de celle-ci.
Section de la conduite S = Q'v / v' = 0,140 / 0,23 ~0,61 m2 ; rayon de la conduite : (0,61 / 3,14)½=0,44 m
Epaisseur de calcaire : 0,60-0,44 = 0,16 m.


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