Comment déterminer la masse des exoplanètes ? Concours général 2015

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Pegasi est une étoile située à environ 48 années de lumière de la Terre dans la constellation de Pégase. Par bien des aspects, 51 Pegasi est très semblable au Soleil. Les deux étoiles sont toutes les deux des naines jaunes, et leurs masses sont très proches l’une de l’autre.
En 1995, c’est autour de cette étoile que la première exoplanète, nommée 51 Pegasi b, fut découverte par les astrophysiciens Michel Mayor et Didier Queloz de l’Observatoire de Genève.
Nous allons étudier ici le principe de la méthode employée qui a non seulement permis de détecter l’existence de centaines d’exoplanètes mais aussi d’en révéler quelques caractéristiques, notamment leur masse.
Une modélisation de la situation physique est décrite  ci-après.

Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
Les deux objets, planète et étoile, forment un système isolé.
On note m la masse de la planète et M la masse de l’étoile. M = 1, 06×MS = 2, 11.1030 kg.
La planète (P) et l’étoile (E) orbitent autour du centre de masse, noté G, du système {étoileplanète}
qui vérifie la relation : M GE +m GP = 0.
 Le référentiel R lié à G est supposé galiléen.
La planète a une orbite circulaire de rayon r = GP autour de G.
L’étoile a une orbite circulaire de rayon R = GE autour de G.
 On note respectivement, dans R, v et V les vecteurs-vitesse de la planète et de l’étoile comme
indiqué sur la figure ci-dessous. On leur associe les normes respectives v et V.
 La vitesse radiale est la vitesse d’un objet mesurée dans la direction de la ligne de visée d’un
observateur fixe depuis son point d’observation. Il s’agit donc de la projection de la vitesse de
l’objet sur la ligne de visée orientée dans le sens étoile → observateur.
On note vr la vitesse radiale de la planète et Vr la vitesse radiale de l’étoile.
Pour simplifier, on suppose que l’observateur est fixe dans R, et se situe dans le plan de l’orbite à
grande distance du système {étoile-planète}.





La courbe ci-dessous présente les mesures expérimentales de la vitesse radiale de l’étoile 51 Pegasi au cours du temps. Ces résultats peuvent en très bonne approximation être modélisés par une loi sinusoïdale de la forme suivante :
Vr = A × cos(2pt / T ) (5). La période T vaut ici T = 4, 23 jours.

Etablir la relation entre vV , m et M.
Dériver par rapport au temps : M GE + m GP = 0 ;
M d
GE/dt + m dGP/dt = 0 ; M V + m v = 0.
 Justifier, à l’aide de schémas, l’égalité des périodes de révolution des deux astres autour de leur centre de masse.





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Rappeler qualitativement le principe de l’effet Doppler.
Un radar émet une onde continue qui se réfléchi par toute cible se trouvant dans la direction pointée. Par effet Doppler, cette onde réfléchie possède une fréquence légèrement différente de celle émise : plus grande fréquence pour les véhicules s'approchant du radar et plus petite fréquence pour ceux qui s'en éloignent.
Quelle observation sur le spectre de l’étoile permet de détecter la présence d’une planète ?
Le mouvement de la planète provoque en effet un léger déplacement des raies d'absorption du spectre de l'étoile par effet Doppler. La longueur d'onde de certaines raies d'absorption spectrales augmente et diminue de façon régulière sur un intervalle de temps donné.

Décrire l’évolution du spectre de l’étoile au cours d’une période de révolution autour de G.
On note lA la longueur d'onde de la raie provenant du spectre de l'étoile.
L'étoile E s'éloigne de l'observateur lA est donc supérieure à l0.
L'étoile E se rapproche de l'observateur lA est donc inférieure à l0.
Dessiner les configurations du système {étoile-observateur} correspondant aux instants ①, ②, ③, ④ et ⑤ de la courbe représentéeci-dessus.

 Quelle est la signification physique des grandeurs A et T dans l’équation (5)  ?
A : amplitude de la vitesse radiale ( m/s) et T : période en jours.
Justifier qualitativement que R est négligeable devant r.
M GE +m GP = 0. La masse de l'étoile est très supérieure à celle de la planète.
On considère que E est confondu avec G. Exprimer r3 en fonction de G, M et T. Calculer r.
3è loi de Kepler :
r3 =GMT2/(4p2).
r3=6,674 10-11 *2,11 1030 *(4,23*24*3600)2 /(4*3,142)=4,76 1029 m3 ; r =7,81 109 m.
Etablir que v = (GM / r)½ , puis calculer numériquement la vitesse de la planète.
Accélération centripète de la planète : aN = v2/r = GM / r2 ; v
2 = GM / r.
v = (
6,674 10-11 *2,11 1030 / (7,81 109))½=1,33 105 m/s.
 En déduire la valeur de la masse de la planète.
V = A~60 m/s d'après le graphe ; m = MV / v = 2,11 1030 *60 / (
1,33 105)=9,5 1026 kg, du même ordre de grandeur que la masse de Jupiter.
Expliquer pourquoi 51 Pegasi b est qualifiée de "Jupiter chaud".
Un objet très massif orbitant autour d'une étoile est appelé Jupiter chaud.
La méthode de détection d’exoplanètes par l’étude de la vitesse radiale des étoiles permet essentiellement de détecter des planètes de type Jupiter chaud. Pourquoi ne permet-elle pas de détecter des planètes qui ressembleraient davantage à la Terre ?
Une planète comme la terre, petite par rapport aux Jupiters chauds, a un faible effet gravitationnel sur l'étoile et  cause de faible changement dans sa vitesse radiale.
En pratique, les observations mentionnées ici sont effectuées depuis la Terre. Quelles corrections doit on apporter au modèle proposé pour mieux exploiter les observations et déduire plus fidèlement la masse d’une exoplanète comme 51 Pegasi b ?




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