Principe d'équivalence faible, particule chargée dans un champ électrique, chute verticale. Concours général 2015


Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
La masse inertielle mesure la "résistance" à  toute variation de son mouvement. Elle apparaît dans la relation fondamentale de la dynamique.
Enoncer le principe d'inertie.
Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie d'un solide pseudo-isolé est soit au repos ( si la vitesse initiale est nulle) soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
Décrire une expérience simple  qui illustre le principe d'inertie.
Lancer d'un mobile sur une table à coussin d'air horizontale.
On considère la situation suivante dans laquelle nous allons comparer les forces nécessaires pour modifier le mouvement d'un électron de masse me et d'un proton de masse mp. De sélectrons de vitesse initiale v0 = v0 ux avec v0 = 1,5 107 m/s, pénètrent en un point O dans une zone de l'espace située entre les armatures planes et horizontales d'un condensateur. Il règne dans cette zone un champ électrique uniforme E et de valeur E = 6,0 kV / m.

On souhaite que les électrons soient déviés vers le bas.
Montrer que l'effet du poids de l'électron est négligeable devant l'effet de la force électrostatique à laquelle il est soumis.
P =meg = 9,1 10-31*9,8 ~8,9 10-30 N ; F = e E = 1,6 10-19 *6,0 103 =9,6 10-16 N. P << F.

  Donner l'expression vectorielle de l'accélération de l'électron et calculer sa valeur.
F = -e E = me a
a =  -e / me E.
|a|=1,6 10-19 / (9,1 10-31) * 6,0 103 = 1,055 1015 ~1,1 1015 m s-2.
Quelle est l'armatrure chargée positivement ? Justifier. On notera Q sa charge.
Les électrons sont déviés vers le bas ; la force à laquelle ils sont soumis est verticale vers le bas. le champ électrique est vertical vers le haut ; l'armature A1 est négative ; l'armature A2 est positive.
Etablir les équations horaires du mouvement de l'électron dans le condensateur.
ax =0 ; ay =
-e / meE; az =0.
vx =v0 ; vy = -
e / meE t ; vz =0.
x =
v0 t ; y = -½e / meE t2 ; z =0.
Interpréter pourquoi la vitesse de l'électron selon l'axe (Ox) est constante.
La seule force agissant sur l'électron est verticale. Suivant Ox, l'électron est isolé ; d'après le principe d'inertie, son mouvement est rectiligne uniforme.
Montrer que la trajectoire de l'électron est parabolique.
y = -½
e / meE x2 /v02; équation d'une branche de parabole.
Reproduire le schéma du condensateur accompagné des grandeurs suivantes : charges des armatures, champ E, force F, trajectoire de l'électron. Voir ci dessus.




On souhaite maintenant étudier le mouvement d'un proton dans ce condensateur. Le proton pénètre dans la zone de champ en O dans les mêmes conditions que l'électron.
Quelles précautions faut-il prendre pour que le proton ait exactement la même trajectoire que celle de l'électron précédent ? Calculer la valeur de la grandeur qui doit être modifiée.
Il faut d'abord inverser le sens de la tension électrique, ca qui revient à inverser le sens du champ électrique. Il faut modifier la valeur du champ électrique :
e / meE = e /mp E' ; E' = mp/ meE = 1,6 10-27 /(9,1 10-31) *6,0 ~ 1,1 104 kV / m.
On suppose que l'on est en mesure d'introduire un second proton au point J, de coordonnées ( xJ ; 0 ; 0 ) avex xJ >0 et on le lâche sans vitesse initiale au moment où l'on introduit un premier proton en O à la vitesse v0. On négligera l'interaction entre les deux protons vis-à-vis de l'interaction de chacun d'eux avec le champ.
Le second proton atteindra-t-il l'armature inférieure avant, après ou en même temps que le proton introduit en O ? Justifier. On note
avec d la demi distance des plaques.
Proton introduit en O : x = v0 t ; y = -½e / mpE t2 ; z =0.
Ce proton atteint la plaque inférieure à la date  t = [2dmp /(eE)]½ .
Proton introduit en J : x = xJ ; y = -½e / mpE t2 ; z =0. Ce proton atteint la plaque inférieure à la date  t = [2dmp /(eE)]½ .
Ces protons étant soumis à la même force verticale, atteindront la plaque inférieure à la même date.

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La masse gravitationnelle est la grandeur physique intervenant dans la loi de l'attraction gravitationnelle.
Quel physicien a découvert la loi de gravitation universelle ? Isaac Newton.
Pourquoi dit-on que cette loi est universelle ?

Cette loi décrit l'attraction des corps ayant une masse, que ce soit la chute des corps ou le mouvement des corps célestes.

Comment se compare t-elle aux autres interactions fondamentales ? Dans quelles situations est-elle prépondérante ?
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La gravitation est prépondérante dans l'infiniment grand ( mouvement des étoiles, panètes et galaxies ). Elle est toujours attractive, est proportionnelle aux masses et varie en raison inverse du carré de la distance séparant deux corps.
Calculer la valeur de l'intensité du champ gravitationnel à la surface de la terre puis à la surface de la lune.
gT = G MT / RT2 =6,674 10-11*5,9736 1024 /(6,371 106)2 =9,822 m s-2.
gL = G ML / RL2 =6,674 10-11*7,347 1022 /(1,736 106)2 =1,627 m s-2.
Universalité de la chute libre. Le principe d'équivalence faible dit que la masse inertielle et la masse gravifique sont égales quel que soit le corps. En conséquence,
deux corps lâchés au même endroit et soumis uniquement à l'influence du champ gravitationnel suivent exactement la même trajectoire, même s'ils ont des compositions différentes.
Galilée est un des premiers physiciens ayant étudié le mouvement de la chute des corps du haut de la tour de Pise.
Aristote déclare qu'un boulet de fer de 100 livres est déja descendud'une hauteur de 100 coudées quand un boulet de 1 livre a parcouru seulement une coudée. Galilée affirme que les deux boulets arrivent ensemble. des expériences répétées montrent qu'un boulet de 100 livres met 5 s pour desendre de 100 coudées.
Une coudée correspond à 57 cm et une livre à 339,542 g. On prendra rfer = 7,87 103 kg m-3.
Calculer la masse des boulets de fer évoqués ci-dessus.
100 livres = 100 *339,542 =33,9542 kg ; 1 livre = 0,339542 kg.
Calculer le rayon de chaque boulet de fer.
m=
rfer *4/3 pR3  ; R =[ 3 m  /(4rfer p)]1/3 =[3*33,9542/(4*7,87 103*3,1416)]1/3 =0,1001 m pour le boulet de 100 livres.
R =[ 3 m  /(4rfer p
)]1/3 =[3*0,339542/(4*7,87 103*3,1416)]1/3 =2,176 10-2 m pour le boulet de 1 livre.
Etablir l'équation horaire du mouvement de la chute libre des boulets de fer.
On choisit un axe vertical orienté vers le bas, l'origine étant  l'altitude initiale H des boulets. La vitesse initiale est nulle.
a = g ; v = gt ; z = ½gt2.
Sur un axe gradué, placer et numéroter les positions successives du boulet tous les t = 0,5 s.
t(s)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
z(m)
0
1,2
4,5
11,0
19,6
30,6
44,1
60,0


Calculer Dt, la durée de chute du haut des 100 coudées et conclure.
100 coudées = 100 *0,57 = 57 m ;
Dt =(2z/g)½ =(2*57 /9,8)½ =3,4 s.
La chute d'un boulet de 100 livres n'est pas libre ( durée de la chute mesurée 5 s). Le boulet est soumis à d'autre forces que son poids : esentiellement frottements sur les couches d'air  ; la poussée d'Archimède due à l'air est négligeable.
Les graphes suivants représentent différentes simulations associées à la chute de chacun des types de boulets, respectivement de masse 100 livres et une livre.


Sans souci d'échelle, représenter les forces qui s'exercent sur le boulet lors de sa chute dans l'air.


Montrer que la poussée d'Archimède est négligeable devant les autres forces.
mg / F =µfer / µair = 7,87 103 /1,29 = 6,10 103. La poussée est bien néglieable devant le poids.
Montrer qualitativement que  le boulet peut atteindre un mouvement rectiligne uniforme.
Lorsque le poids est compensé par les forces de frottement dues à l'air, le boulet est pseudo-isolé. Le principe d'inertie indique que le mouvement devient rectiligne uniforme.
Exprimer puis calculer la vitesse limite vl de chute. On prendra C = 0,44.


vl =(8*0,10*7,87 103*9,8 / (3*1,29*0,44))½
=191 ~1,9 102 m/s. ( boulet de 100 livres)
vl =(8*2,18 10-2*7,87 103*9,8 / (3*1,29*0,44))½
=88,9 ~89 m/s. ( boulet de 1 livre)

Attribuer chaque courbe a, b, c de la simulation au cas qui convient.
a : chute libre ; b : chute du boulet de 100 livres ; c : chute du boulet de une livre.
Les graphes z = f(t) de la simulation montrent un désaccord avec un résultat énoncé par Galilée ( la chute ne dure pas 5 s ).
Par contre "
deux boulets arrivent ensemble" est confirmé ( écart de 0,03 s).
Pour montrer que la chute des corps est indépendante de la masse de l'objet, que vaut-il mieux choisir comme objets ?
Des objets de même taille mais de compositions différentes.
Comme les objets tombaient trop rapidement pour permettre des mesures directes, Galilée eut l'idée brillante de "diluer la gravité" en faisant rouler des boules sur un plan légèrement incliné. Ses études lui on permis de conclure que la distance totale augmente comme le carré du temps écoulé.
Que signifie " diluer la gravité" ?
Sur un plan incliné, le boulet est soumis à l'accélération g sin ß, avec ß inclinaison du plan par rapport à l'horizontale. Si ß =5°, gsin 5 =0,087 g.
En 1971, l'expérience de la chute des corps fut refaite par l'astronaute  David Scott, sur la lune. Il lâcha une plume et un marteau au même insatnt ; des millions de téléspectateurs furent ainsi témoins que les deux objets arrivaient en même temps au sol.

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