Le phénomène de sédimentation. Concours national Deug


Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
Un récipient cylindrique de  section droite d'aire S et d'axe vertical ascendant Oz ( vecteur unitaire ez ), contient un liquide homogène incompressible de masse volumique r. l'origine O est choisiie au fond du récipient : z(O) = 0. Des macromolécules insolubles, notées M, de forme sphériques ( rayon R, masse m )  et de masse volumique r0 ( avec r0 > r), sont ajoutées et mélangées au liquide. Au temps initial t=0, la solution supposée homogène, est abandonnée à elle même : les macromolécules se déposent, à la vitesse v, sous l'action des forces de pesanteur ( sédimentation).
En plus de leur poids P = -mgez, les particules M sont soumises à deux autres forces : une force de frottement visqueux, dite de Stokes, de la forme Ff=-fv (avec f constante positive ) et la poussée d'Archimède FA = 4/3pR3 rgez.

Déplacement des particules sous l'action des forces de pesanteur.
Ecrire la relation entre les vecteurs v, P, Ff et FA.
Pricipe fondamental de la dynamique :
P+ Ff + FA =mdv/dt
Montrer que la poussée d'Archimède peut s'écrire : FA = r/r0 m g ez.
4/3pR3r0 = m ; FA r/r0 m g ez.
Proposer une équation différentielle du mouvement d'une macromolécule.
Ecrire la relation fondamentale de la dynamique en projection sur l'axe Oz :
-mg - f v +
r/r0 m g =mdv/dt ;
dv/dt +f / m v +g (1-
r/r0)=0. (1)
En déduire la loi de vitesse en considérant une vitesse initiale nulle.
Solution générale de (1) sans second membre : v = A exp(-
f / m t) avec A une constante.
Solution particulière de (1) : vlim =-m
g (1-r/r0 ) / f.
Solution générale de (1) : v =
A exp(-f / m t) -mg (1-r/r0 ) / f.
v(t=0) = 0 ; A = 
mg (1-r/r0 ) / f.
v =
-mg (1-r/r0 ) / f (1-exp(-f / m t)).
Exprimer la valeur absolue de la vitesse limite de sédimentation.
vlim = mg (1-r/r0 ) / f.
Soit N*(z) ( particules m-3 ) la densité volumique de particules M à la cote  ( ou altitude ) z. En déduire, en régime de sédimentation établi, les expressions :
du nombre dNs ( positif) de particules qui traversent, en decendant, la section droite S du récipient pendant la durée dt.
Les particules qui traversent cette section droite pendant la durée dt se trouvaient dans le volume : Sdz = S vlim dt.
dNsN*(z) S vlim dt = N*(z) Smg (1-r/r0 ) / f dt.
Du vecteur densité de courant particulaire jS lié à la sédimentation.
jS = -1/S dNs /dt = -N*(z) mg (1-r/r0 ) / f  ez.




Diffusion due à l'hétérogénéité de concentration.
La sédimentation ayant entaîné une hétérogénéité de la solution, une diffusion inidimentionnelle et unidirectionnelle ascendante apparaît, soumise à la loi de Fick, de constante de diffusion D ( constante positive ) et de vecteur densité de courant particulaire jD. En tout point du liquide, cette loi s'écrit :  jD = -D grad N*(z) = jD(z) ez.
Soit, en régime établi, dND le nombre ( positif) de particules qui traversent, par diffusion et en montant, la section droite S du récipient, pendant la durée élémentaire dt.
Rappeller la relation qui lie dND et jD(z).
Ces particules se trouvaient dans le volume Sdt :
dND = jD(z) S dt.
En déduire une relation entre dND et dN*(z)/dz.
 dND ez-D grad N*(z) S dt.
 dND -D  dN*(z)/dz S dt.

.


Equilibre.
Il s'agit maintenant, en tenant compte des deux courants ( de sédimentation et de diffusion ), d'établir la loi N*(z) à l'équilibre.
Donner en régime stationnaire et permanent, la relation entre les nombres dNs et dND.
A l'équilibre les deux courants se compensent :
dNs = dND.
En déduire une équation différentielle qui relie N* à la coordonnée de position z.
 dND -D  dN*(z)/dz S dt et dNsN*(z) S vlim dt.
-D  dN*(z)/dz =N*(z)  vlim  ; dN*(z)/dz  +N*(z)  vlim  / D =0.
En déduire la loi N*(z), avec N*(z=0) = N*0.
N*(z) = A exp(-
vlim  / D z) avec A une constante.
N*(z=0) =N*0 =A ; N*(z) = N*0 exp(-vlim  / D z).
Donner l'allure de la courbe représentative de la fonction N*(z).

Un traitement statistique, selon la théorie de Boltzmann, conduirait à l'expression de la densité volumique particulaire suivante :
avec kB constante de Boltzmann et T température absolue.
En déduire une relation entre D, f, kB et T.
Par identification vlim / D =m(1-r/r0)g / (kBT) et avec vlim = mg (1-r/r0 ) / f.
Par suite : f D =
kBT.
Or f = 6pRh avec h la viscosité du liquide.
Montrer que D peut s'exprimer en fonction de kB, h, T et R.
D = kBT /(6pRh).




Mesures et résultats.
Des mesures optiques à la température T montrent qu'à la cote z1 =4,00 cm, la densité particulaire N* vaut N*(z1) = N*0/3.
kB =1,38 10-23 J K-1 ; T = 298 K ; r = 1,00 103 kg m-3 ; r0 = 1,25 103 kg m-3 ; h = 1,00 Pa s.
Calculer la masse m et le rayon R des macromolécules
En déduire la valeur de D.
(1-r/r0 )gz /(kBT)=(1-1/1,25)*9,81 *0,0400 / (1,38 10-23 *298)=1,9084 10190.
N*(z1)=N*0 /3= N*0 exp(-1,9084 1019 m ) ; ln 3=1,9084 1019 m = 1,0986 ; m =5,7568 10-20 ~5,76 10-20 kg.
m =4/3 pR3r0  ; R = (3m /(4
pr0))1/3 =(3*5,7568 10-20 /(4*3,14*1,25 103)1/3=2,2236 10-8 ~2,22 10-8 m.
D =
kBT /(6pRh) =1,38 10-23 *298 /(6*3,14*2,2236 10-8 *1,00)=9,81 10-15m2 s-1.





  

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