Vidange d'un réservoir, densimètre. Concours national Deug

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Un réservoir de section S1 est percé à la base d'un petit trou de section S2. On note h0 la hauteur initiale du liquide dans le réservoir. On note vA la vitesse au point A à la surface libre et vB la vitesse du liquide au point B. Soit h la hauteur du liquide à l'instant t. On suppose l'écoulement incompressible et stationnaire. On néglige la variation de la pression atmosphérique avec la hauteur.

Ecrire la variation du débit volumique entre A et B.
Le débit volumique est constant : Q = S1vA = S2 vB soit
vB =vA S1 /S2.
Appliquer le théorème de Bernoulli entre A et B. On note µ la masse volumique du fluide.
½µv2A +µgh +pA =
½µv2B +µgzB +pB  ; or zB = 0 et pA = pB = pression atmosphérique.
½µv2A +µg h =½µv2B = ½µ(vA S1 /S2)2.
v2A ((S1 /S2)2-1)=2g h. On pose ß2=(S1 /S2)2-1 ; ß2v2A =2gh.
En déduire une équation différentielle du premier ordre en h.
vA =-dh/dt ; ß2(dh/dt)2 =2gh ; (dh/dt)2 -2gh/ß2 =0.
On pose K = - 2g/
ß2 =2g /(1-(S1 /S2)2).
dh/dt = (2gh)½/ß ou encore (dh/dt)2 +Kh=0.
Résoudre cette équation et déterminer la loi d'évolution de h.
dh / h½ = (2g)½ / ßdt ; intégrer entre h et h0 :
2 [h½]hh0 = 2
h0½ - 2h½ =(2g)½ / ß t.
h½ =h0½ -(g/2)½ / ß t = h0½ +½K½ t.
En déduire le temps T de vidange du réservoir.
0 =h0½+½ K½ T ; T = -2(h0 / K)½ =2(h0
((S1 /S2)2-1) /(2g))½.




La densité d'un liquide est le rapport de sa masse volumique r sur celle r0 de l'eau.
Un densimètre est constitué d'une tige cylindrique de section s, de hauteur hM et d'une boule lestée. L'ensemble a pour volume v et pour densité d0.

Lorsque le densimètre est plongé dans un liquide de densité d, le système étant au repos, une certaine hauteur h de la tige émerge du liquide. On lit directement la densité sur les graduations inscrites sur la tige cylindrique.
Déterminer la masse m du densimètre en fonction de d0, r0 et v.
m = v r = v d0 r0.
Exprimer la poussée d'Archimède lorsque le densimètre est plongé dans le liquide en fonction de r0, v, h, s, d et g.
La poussée est égale au poids du volume de fluide déplacé. F = d r0 vfluide g.
vfluide =v-h s ; F = d r0 (v-h s) g.
Elle est verticale et orientée vers le haut.
En déduire l'expression de d en fonction de h, H =v/s et d0.
A l'équilibre la poussée d'Archimède compense le poids du densimètre.
d r0 (v-h s) g =v d0r0.
d(v/s-h = v/s d0 ; d (H-h) =Hd0 ; d =
Hd0 /(H-h).
Dans quel intervalle doit se trouver d pour être mesurable.
h doit être compris entre zéro et hM ;
h = 0 conduit à d=d0 ; h = hM conduit à :
d = Hd0 /(H-hM).

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