Repère de Frenet. Concours national Deug

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Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
Le référentiel R est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère (O, x, y, z )
Un point matériel M se déplace sur une courbe définie par les équations paramétriques suivantes :
x = 2A eat sin at
y =
= 2A eat cos at
z =
A eat.
A et a sont des constantes 
et x, y, z sont les coordonnées cartésiennes du point M à l’instant t.
On désigne par ( M, t, n, b )  le repère de Frenet, τ étant le vecteur unitaire tangent en M à latrajectoire, orienté dans le sens du mouvement, n le vecteur unitaire normal en M à τ dirigé versle centre de courbure et b complète le repère afin qu’il soit orthonormé direct.
On note s l’abscisse curviligne du point M et R le rayon de courbure de la trajectoire au point M.
Exprimer dans R la vitesse V du point M ainsi que sa norme en fonction de A, a et t.
vx = dx/dt =
2aA eat sin at +2aA eat cos at = 2aA eat (sin at +cos at).
vy  = dy/dt =2aA eat cos at -2aA eat sin at = 2aA eat (cos at - sin at).
vz  = dz/dt =aA eat.
v = (
vx2+vy2+vz2)½ =2aA eat ((sin at +cos at)2+(cos at - sin at)2+0,25)½.
v=
2aA eat (2sin2 at +2cos2 at+0,25)½.
v=2aA eat (1-cos 2 at +1+cos 2 at+0,25)½.
Norme de la vitesse : v=3aA eat .
En déduire l’expression de τ dans le repère (O, x, y, z ).
Les vecteurs vitesse et t sont colinéaires et de même sens.
vx /v = 2/3 (sin at +cos at).
vy /v = 2/3 (cos at - sin at).
vz  /v= 1/3.

Montrer que la vitesse v du point M fait un angle q constant avec l’axe z.
Faire le produit scalaire v . uz= v cos q =vx
ux.uz +vy uy.uz +vz uz.uz = vz = aA eat.
3aA eat cos q =aA eat ; cos q =1/3 ; q =1,23 rad.




Exprimer dans R l’accélération du point M ainsi que sa norme en fonction de A, a et t.
ax = dvx/dt = 2a2A eat (sin at +cos at)+2a2A eat (cos at -sin at) =4a2A eat cos at.
ay  = d
vy/dt = 2a2A eat (cos at - sin at)+ 2a2A eat (-sin at - cos at) =-4a2A eat sin at.
az  = dvz/dt =a2A eat.
Norme de l'accélération : a
= (ax2+ay2+az2)½ =4a2A eat (cos2 at+ sin2 at+1/16)½.
a=
4a2A eat ( 17 / 16)½ =17½a2A eat .
Déterminer la norme at de l’accélération tangentielle du point M en fonction de A,a et t.
at = dv/dt =
3a2A eat .
 En déduire la norme an de l’accélération normale du point M.
a2 = a2t + a2n ;
a2n  =a2 - a2t  =17a4A2 e2at -9a4A2 e2at  =8a4A2 e2at  ; an = 8½a2A eat .
En déduire le rayon de courbure R de la trajectoire au point M.
an =v2 /R ; R = v2 / an =(3aA eat )2/ (8½a2A eat ) =9/8½ A eat = 9/8½ z.
R est proportionnel à la coordonnée z du point M.

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vitesse, accélération, repère de Frenet :

On donne les équations paramètriques de la trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un référentiel : x= 2t et y= 4t²-4t.

Déterminer l'équation de la trajectoire.
Eliminer le temps entre x et y : t= ½x ; report dans y
y= x²-2x trajectoire parabolique.
Calculer la vitesse du mobile.
vecteur vitesse : dérivée par rapport au temps du vecteur position v (dx/dt = 2 ; dy/dt = 8t-4)
valeur (norme) de la vitesse : v² = vx²+vy² =4+(8t-4)² = 64t²-64t-20 en m s-1.
Montrer que son accélération est constante.
vecteur accélération : dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse a (dvx/dt = 0 ; dvy/dt = 8)
valeur (norme) de l'accélération : a² = ax²+ay² =0+8² soit a = 8 m s-2, indépendante du temps.
Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.
vecteur accélération tangentielle, colinéaire au vecteur vitesse :
aT=dv/dt avec v = [4+(8t-4)²]½.
aT= dv/dt = 16(8 t -4)*½* [4+(8t-4)²]=8(8 t -4) [4+(8t-4)²].
a² = a²T+ a²N soit a²N = a²-a²T= 8² -8²(8 t -4)² [4+(8t-4)²]-1.
réduire au même dénominateur [4+(8t-4)²] :
N =8²*4 [4+(8t-4)²]-1 soit aN= 16[4+(8t-4)²].
En déduire le rayon de courbure.

  Le rayon de courbure r est liée à l'accélération normale aN et à la vitesse v : aN = v²/r .
r = v² / aN = [4+(8t-4)²]-3/2 /16.







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